Considere um disco de raio 20 cm e massa de
, rolando sobre um plano inclinado de
. Calcule a aceleração do centro de massa do disco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um disco com raio de 20 cm e massa de 3,0 kg rolando por um plano inclinado de 30 graus. A gente quer descobrir qual é a aceleração do centro de massa desse disco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica da rotação e leis de Newton, especialmente considerando que o disco está rolando sem deslizar.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama de forças atuando no disco. No plano inclinado, temos duas forças principais:
-
Peso §: que puxa o disco para baixo, e pode ser decomposto em duas componentes:
- Paralela ao plano: $ P_{\parallel} = m \cdot g \cdot \sin(\theta) $
- Perpendicular ao plano: $ P_{\perp} = m \cdot g \cdot \cos(\theta) $
-
Força de atrito (f): que impede o deslizamento e permite que o disco role. Essa força atua na direção oposta ao movimento.
Passo 3
Como o disco está rolando sem deslizar, a força de atrito é estática. Ela não faz o disco desacelerar, mas contribui para a rotação. A aceleração do centro de massa $ a $ está relacionada com a aceleração angular $ \alpha $ pela relação:
Onde $ r $ é o raio do disco.
Passo 4
O momento de inércia $ I $ de um disco sólido em torno de seu eixo central é:
Isso vai ser importante para relacionar torque e rotação.
Passo 5
Aplicando a segunda lei de Newton para a translação, temos:
E para a rotação:
O torque $ \tau $ causado pela força de atrito é:
Substituindo $ \alpha = \frac{a}{r} $, fica:
Passo 6
Substituindo o momento de inércia $ I $:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à equação da translação:
Somando $ \frac{1}{2} m a $ nos dois lados:
Dividindo ambos os lados por $ \frac{3}{2} m $:
Passo 8
Agora, substituindo os valores:
- $ g = 9,8 , m/s^2 $
- $ \theta = 30^\circ $
- $ \sin(30^\circ) = 0,5 $
Então:
Resposta
A aceleração do centro de massa do disco é aproximadamente 3,27 m/s².