Considere um disco de raio 20 cm e massa de 3,0 kg, rolando sobre um plano inclinado de 30^circ. Calcule a aceleração do centro de massa do disco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um disco com raio de 20 cm e massa de 3,0 kg rolando por um plano inclinado de 30 graus. A gente quer descobrir qual é a aceleração do centro de massa desse disco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica da rotação e leis de Newton, especialmente considerando que o disco está rolando sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama de forças atuando no disco. No plano inclinado, temos duas forças principais:
  1. Peso §: que puxa o disco para baixo, e pode ser decomposto em duas componentes:
    • Paralela ao plano: $ P_{\parallel} = m \cdot g \cdot \sin(\theta) $
    • Perpendicular ao plano: $ P_{\perp} = m \cdot g \cdot \cos(\theta) $
  2. Força de atrito (f): que impede o deslizamento e permite que o disco role. Essa força atua na direção oposta ao movimento.

Passo 3

Como o disco está rolando sem deslizar, a força de atrito é estática. Ela não faz o disco desacelerar, mas contribui para a rotação. A aceleração do centro de massa $ a $ está relacionada com a aceleração angular $ \alpha $ pela relação:
a
Onde $ r $ é o raio do disco.

Passo 4

O momento de inércia $ I $ de um disco sólido em torno de seu eixo central é:
I
Isso vai ser importante para relacionar torque e rotação.

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton para a translação, temos:
m cdot a = m cdot g cdot sin(theta) - f
E para a rotação:
tau = I cdot alpha
O torque $ \tau $ causado pela força de atrito é:
tau
Substituindo $ \alpha = \frac{a}{r} $, fica:
tau = f cdot r

Passo 6

Substituindo o momento de inércia $ I $:
I
Simplificando:
f cdot r = 12 m r^2 cdot ar

Passo 7

Voltando à equação da translação:
m cdot a = m cdot g cdot sin(theta) - 12 m a
Somando $ \frac{1}{2} m a $ nos dois lados:
12 m a
Dividindo ambos os lados por $ \frac{3}{2} m $:
32 m a = m cdot g cdot sin(theta)

Passo 8

Agora, substituindo os valores:
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $
  • $ \theta = 30^\circ $
  • $ \sin(30^\circ) = 0,5 $
Então:
g = 9,8 , m/s^2
theta = 30^circ
sin(30^circ) = 0,5

Resposta

A aceleração do centro de massa do disco é aproximadamente 3,27 m/s².

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