Considere uma esfera maciça de massa
e raio de 40 cm que gira em torno do eixo que passa pelo seu centro, sujeito a um torque constante de
. Sabendo que em
, a velocidade angular é
, determine a velocidade para
.
Passo 1
Então, vamos olhar esse problema juntos! A gente tem uma esfera maciça de 2,0 kg e raio de 40 cm que está girando ao redor do seu próprio eixo. Ela está sofrendo um torque constante de 20 N·m. No tempo inicial, t=0 s, a velocidade angular é de 3,0 rad/s. A nossa missão é descobrir qual será a velocidade angular dessa esfera depois de 10 segundos.
Matéria envolvida: Movimento rotacional, torque, momento de inércia e aceleração angular.
O que vamos precisar: Fórmulas que relacionam torque, momento de inércia e aceleração angular, além da relação entre aceleração e variação da velocidade angular ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia (I) da esfera. O momento de inércia é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Para uma esfera maciça girando ao redor do seu eixo, a fórmula é:
Onde:
- $ m $ é a massa,
- $ r $ é o raio.
Vamos substituir os valores:
Calculando:
Passo 3
Agora que temos o momento de inércia, vamos encontrar a **aceleração angular ($ \alpha
\tau $), momento de inércia e aceleração angular é dada por:
Queremos isolar $ \alpha $:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 4
Com a aceleração angular conhecida, podemos determinar a velocidade angular ($ \omega $) após 10 segundos usando a fórmula:
Onde:
- $ \omega_0 $ é a velocidade angular inicial,
- $ \alpha $ é a aceleração angular,
- $ t $ é o tempo.
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
Após 10 segundos, a velocidade angular da esfera será de aproximadamente 1565,5 rad/s.