Considere uma esfera maciça de massa 2,0 kg e raio de 40 cm que gira em torno do eixo que passa pelo seu centro, sujeito a um torque constante de 20 N cdot m. Sabendo que em t=0 s, a velocidade angular é 3,0 rad / s, determine a velocidade para t=10 s.

Passo 1

Então, vamos olhar esse problema juntos! A gente tem uma esfera maciça de 2,0 kg e raio de 40 cm que está girando ao redor do seu próprio eixo. Ela está sofrendo um torque constante de 20 N·m. No tempo inicial, t=0 s, a velocidade angular é de 3,0 rad/s. A nossa missão é descobrir qual será a velocidade angular dessa esfera depois de 10 segundos.
Matéria envolvida: Movimento rotacional, torque, momento de inércia e aceleração angular.
O que vamos precisar: Fórmulas que relacionam torque, momento de inércia e aceleração angular, além da relação entre aceleração e variação da velocidade angular ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia (I) da esfera. O momento de inércia é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Para uma esfera maciça girando ao redor do seu eixo, a fórmula é:
I = 25 m r^2
Onde:
  • $ m $ é a massa,
  • $ r $ é o raio.
Vamos substituir os valores:
m
r (convertendo centímetros para metros)
Calculando:
m = 2,0 , kg
r = 40 , cm = 0,40 , m
I = 25 times 2,0 , kg times (0,40 , m)^2
I = 25 times 2,0 times 0,16

Passo 3

Agora que temos o momento de inércia, vamos encontrar a **aceleração angular ($ \alpha alpha çã \tau $), momento de inércia e aceleração angular é dada por:
tau
Queremos isolar $ \alpha $:
tau = I alpha
Substituindo os valores:
alpha
alpha = tauI
Calculando:
tau = 20 , N cdot m
I = 0,128 , kg cdot m^2

Passo 4

Com a aceleração angular conhecida, podemos determinar a velocidade angular ($ \omega $) após 10 segundos usando a fórmula:
omega
Onde:
  • $ \omega_0 $ é a velocidade angular inicial,
  • $ \alpha $ é a aceleração angular,
  • $ t $ é o tempo.
Substituindo os valores:
omega = omega0 + alpha t
omega0
alpha
Calculando:
t
omega0 = 3,0 , rad/s
alpha = 156,25 , rad/s^2

Resposta

Após 10 segundos, a velocidade angular da esfera será de aproximadamente 1565,5 rad/s.

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