Considere um disco de raio
cuja massa está distribuída segundo uma densidade superficial variando radialmente como
Determine a massa
do disco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um disco com raio $ R $ e a massa dele está distribuída de um jeito que a densidade superficial varia com a distância do centro. A densidade é dada por $ \sigma® = \frac{\sigma_{0}}{r} $. Nosso objetivo aqui é descobrir a massa total $ M $ desse disco. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integrais que envolvem densidade superficial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a massa total $ M $ de um objeto com densidade superficial $ \sigma® $ pode ser encontrada integrando essa densidade sobre toda a área do disco. Ou seja, vamos somar todas as pequenas parcelas de massa que estão distribuídas em cada ponto do disco.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que a densidade varia radialmente e o disco tem simetria circular. Em coordenadas polares, um elemento de área $ dA $ é dado por:
Aqui, $ r $ é a distância do centro e $ \theta $ é o ângulo.
Passo 4
Agora, substituímos a densidade $ \sigma® $ na fórmula da massa. A massa total $ M $ será:
Perceba que $ \sigma® = \frac{\sigma_{0}}{r} $ e $ dA = r , dr , d\theta $.
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver as integrais separadamente. Primeiro, a integral em $ r $:
Depois, a integral em $ \theta $:
Multiplicando os resultados:
Resposta
A massa total do disco é $ M = 2\pi R \sigma_{0} $.