Considere um disco de raio R, muito fino, com uma densidade superficial de carga constante sigma :
(a) encontre o potencial elétrico em um ponto localizado a uma distância z ao longo do eixo central perpendicular ao plano do disco;
(b) a partir da expressão obtida para o potencial elétrico, encontre a expressão para o campo elétrico ao longo deste eixo.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(z) e o campo elétrico E(z) ao longo do eixo perpendicular a um disco de raio R com densidade superficial de carga constante sigma.
Conteúdo: vamos usar a superposição, dividindo o disco em anéis de raio variável r, calcular o potencial devido a um anel e depois integrar de r=0 até r=R. Em seguida obtemos o campo pela relação
E(z) = -dVdz

Passo 2

Considere um anel de raio r e espessura dr. A carga desse anel é
dq = sigma cdot (área do anel) = sigma cdot (2pi r,dr) á
O potencial num ponto a distância z do plano do anel, sobre o eixo, vale
dV = 14piepsilon0,dqraizr^2 + z^2 = 14piepsilon0,sigma,2pi r,drraizr^2+z^2 = sigma2epsilon0,r,drraizr^2+z^2

Passo 3

Agora integramos r de 0 até R para somar a contribuição de todos os anéis:
V(z) = integral0^R dV = sigma2epsilon0 integral0^R r,drraizr^2+z^2
Fazendo a substituição u = r^2 + z^2, du = 2r,dr, obtemos
integral0^Rr,drraizr^2+z^2 = integralu=z^2^u=R^2+z^2du2raizu = [raizu]z^2^R^2+z^2 = raizR^2+z^2 - z

Passo 4

Substituindo de volta em V(z), temos
V(z) = sigma2epsilon0,l(raizR^2+z^2 - zr)

Passo 5

Para achar o campo ao longo do eixo usamos
E(z) = -dVdz
Diferenciando
ddzl(raizR^2+z^2r) = zraizR^2+z^2, ddz(-z) = -1,
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E(z) = -sigma2epsilon0, l(zraizR^2+z^2 - 1r) = sigma2epsilon0, l(1 - zraizR^2+z^2r)

Resposta

(a)
V(z) = sigma2epsilon0,l(raizR^2+z^2 - zr)
(b)
E(z) = sigma2epsilon0,l(1 - zraizR^2+z^2r),
no sentido de afastar-se do disco quando sigma>0.

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