U’m casca condutora esférica de raio interno b e raio externo c, com um excedente de cargas -Q, envolve um condutor esférico concêntrico à casca condutora, de raio a e com um excedente de cargas +Q :
(a) calcule em detalhes o campo elétrico no espaço entre os dois condutores, ou seja, a uma distância r sendo a<r<b;
(b) de posse do campo, calcule a diferença de potencial entre os dois condutores e determine a capacitância do arranjo.

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor esférico formado por uma esfera condutora de raio a com carga +Q e uma casca condutora concêntrica com raios interno b e externo c com carga total -Q. O conteúdo envolve aplicar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico na região a<r<b, integrar esse campo para achar a diferença de potencial entre os condutores e, por fim, calcular a capacitância do arranjo.

Passo 2

Para a<r<b escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r. Pela simetria esférica o campo tem direção radial e módulo E(r) constante na superfície. A Lei de Gauss diz:
oint Ecdot dA = Qintvarepsilon0
Como Qint=+Q e a área da esfera é 4pi r^2, obtemos
E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2,r

Passo 3

A diferença de potencial entre a esfera interna (em r=a) e a casca (em r=b) é
V(a)-V(b) = -integrala^b Ecdot dr = -integrala^b Q4pivarepsilon0,r^2,dr = Q4pivarepsilon0l(1a-1br)

Passo 4

A capacitância do arranjo é definida por C = Q/l[V(a)-V(b)r]. Substituindo o resultado do passo anterior,
C = QdfracQ4pivarepsilon0l(1a-1br) = 4pivarepsilon0,ab,b-a,

Resposta

E(r)=dfracQ4pivarepsilon0,r^2,r para a<r<b.\n V(a)-V(b)=dfracQ4pivarepsilon0l(dfrac1a-dfrac1br).\n C=4pivarepsilon0,dfracab,b-a,.

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