Prove que a capacidade calorífica a pressão constante é dada por (5).
C_{P}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{P}+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a fórmula
C_{P}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{P}+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (implícitas no enunciado): sistema fechado com trabalho somente do tipo P\,dV (trabalho de compressão/expansão), grandezas termodinâmicas usuais U (energia interna), P (pressão), V (volume), T (temperatura) e definição de capacidade térmica a pressão constante C_{P}. Não estamos assumindo nada além disso (por exemplo, não precisamos já assumir que U depende só de T).

Passo 2

Definição de capacidade térmica a pressão constante: por definição, C_{P} é a quantidade de calor trocada por unidade de variação de temperatura num processo que mantém a pressão constante. Escrevendo isso de forma matemática:
C_{P}=\left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_{P},
onde \delta Q é o calor trocado (notação diferencial de calor), e o subíndice _P indica que o processo ocorre a pressão constante. Aqui \partial/\partial T é uma derivada parcial porque estamos considerando variações de Q quando apenas T muda mantendo P fixo.

Passo 3

Primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado com trabalho P\,dV: a variação infinitesimal da energia interna dU é igual ao calor recebido menos o trabalho realizado pelo sistema:
dU=\delta Q - P\,dV.
Explicando os sinais: se o sistema recebe calor \delta Q>0 sua energia interna pode aumentar; se realiza trabalho P\,dV>0 (expansão), isso reduz sua energia interna. Reorganizando para escrever o calor recebido:
\delta Q = dU + P\,dV.

Passo 4

Agora vamos relacionar \delta Q com a variação de temperatura no processo a pressão constante. Em um processo com P fixo, as variações diferenciais de U e V quando a temperatura varia dT são dadas pelas derivadas parciais com P constante:
dU=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{P} dT, \qquad dV=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} dT,
porque estamos restringindo as variações ao caminho onde P é constante (logo dP=0). Substituindo essas expressões em \delta Q = dU + P\,dV obtemos
\delta Q = \left[\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{P} + P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}\right] dT.
Dividindo ambos os lados por dT (e lembrando que C_{P}=(\partial Q/\partial T)_{P}) chegamos à fórmula desejada:
C_{P}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{P}+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.

Passo 5

Comentário extra didático (jeito alternativo e exemplo concreto): uma forma elegante de ver a mesma coisa é introduzir a entalpia
H=U+P V.
Diferenciando,
dH=dU+P\,dV+V\,dP.
Em processo a pressão constante ( dP=0) tem-se dH=dU+P\,dV=\delta Q, portanto
C_{P}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}.
Expandindo (\partial H/\partial T)_{P} dá novamente
C_{P}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{P}+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Exemplo concreto para fixar a ideia: para um gás ideal monoatômico U=U(T) então \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{P}=C_{V}, e usando \,P V=nR T obtemos \;P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}=nR, daí a conhecida relação
C_{P}=C_{V}+nR.
Isso mostra como a fórmula geral se aplica em um caso que você já talvez conheça.

Resposta

C_{P}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{P}+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}

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