Prove que a capacidade calorífica a pressão constante é dada por (5).
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a fórmula
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (implícitas no enunciado): sistema fechado com trabalho somente do tipo
(trabalho de compressão/expansão), grandezas termodinâmicas usuais
(energia interna),
(pressão),
(volume),
(temperatura) e definição de capacidade térmica a pressão constante
. Não estamos assumindo nada além disso (por exemplo, não precisamos já assumir que
depende só de
).
Passo 2
Definição de capacidade térmica a pressão constante: por definição,
é a quantidade de calor trocada por unidade de variação de temperatura num processo que mantém a pressão constante. Escrevendo isso de forma matemática:
onde
é o calor trocado (notação diferencial de calor), e o subíndice
indica que o processo ocorre a pressão constante. Aqui
é uma derivada parcial porque estamos considerando variações de
quando apenas
muda mantendo
fixo.
Passo 3
Primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado com trabalho
: a variação infinitesimal da energia interna
é igual ao calor recebido menos o trabalho realizado pelo sistema:
Explicando os sinais: se o sistema recebe calor
sua energia interna pode aumentar; se realiza trabalho
(expansão), isso reduz sua energia interna. Reorganizando para escrever o calor recebido:
Passo 4
Agora vamos relacionar
com a variação de temperatura no processo a pressão constante. Em um processo com
fixo, as variações diferenciais de
e
quando a temperatura varia
são dadas pelas derivadas parciais com
constante:
porque estamos restringindo as variações ao caminho onde
é constante (logo
). Substituindo essas expressões em
obtemos
Dividindo ambos os lados por
(e lembrando que
) chegamos à fórmula desejada:
Passo 5
Comentário extra didático (jeito alternativo e exemplo concreto): uma forma elegante de ver a mesma coisa é introduzir a entalpia
Diferenciando,
Em processo a pressão constante (
) tem-se
, portanto
Expandindo
dá novamente
Exemplo concreto para fixar a ideia: para um gás ideal monoatômico
então
, e usando
obtemos
, daí a conhecida relação
Isso mostra como a fórmula geral se aplica em um caso que você já talvez conheça.