• Considere que a distribuição de concentração de benzeno - produto químico que se acredita ser danoso para os seres humanos - em uma especificada marca de charuto seja aproximadamente normal com média desconhecida e desvio padrão desconhecido.
  • Sabemos que a concentração média de benzeno em uma marca de cigarros usada como padrão é 81 mg / g de tabaco e gostaríamos de saber se a concentração média de benzeno nos charutos é igual à dos cigarros.
  • Uma amostra aleatória de sete charutos tem concentração média de benzeno de 151 mg / g e desvio padrão 9 mg / g.
  • Verifique a alegação, considerando um nível de significância de 5 %, pelos seguintes métodos:
  • Método do Intervalo de Confiança

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem e o que vai usar:
– Enunciado: a concentração de benzeno nos charutos segue (aprox.) uma normal com média μ e desvio padrão σ desconhecidos. Queremos testar se μ é igual a 81 mg/g (valor médio nos cigarros).
– Dados da amostra (n=7 charutos): média bar x = 151,mg/g e desvio padrão s = 9,mg/g.
– Nível de confiança: 95% (significância de 5%).
Conteúdo que vamos usar: construção de Intervalo de Confiança para média usando a distribuição t de Student (porque sigma é desconhecida e n é pequeno).

Passo 2

Por que usar a t de Student?
Quando a gente não sabe sigma da população e usa s da amostra, e ainda tem n<30, a estatística
T = bar X - muS/raizn
segue uma t com n-1 graus de liberdade. Para montar o IC de 95% para μ, usamos:
bar x pm t,alpha/2,,n-1,sraizn,

Passo 3

Vamos calcular cada parte:
  1. Desvio-padrão da média (erro padrão): SE = sraizn = 9raiz7approx 3,40,
    2. Valor crítico de t para 95% de confiança e df = 6:
    t0,975,6 approx 2,447,
  2. Margem de erro: ME = t0,975,6times SE approx 2,447times 3,40 approx 8,32,

Passo 4

Construindo o intervalo de confiança:
151 pm 8,32 ;Rightarrow; (151 - 8,32,;151 + 8,32) approx (142,7,;159,3),mg/g,

Passo 5

Agora a interpretação:
– Hipótese nula H0colon mu=81.
– O intervalo de confiança para μ está entre 142,7 e 159,3.
– Como 81 mg/g NÃO aparece nesse intervalo, isso indica que, com 95% de confiança, a média nos charutos é diferente de 81 mg/g.

Resposta

O Intervalo de Confiança de 95% para a média de benzeno nos charutos é aproximadamente (142,7,;159,3),mg/g. Como 81 mg/g não está nesse intervalo, rejeitamos a hipótese de que a média seja igual a 81 mg/g.

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