Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 12 retirada de uma população com distribuição Bernoulli com parâmetro p. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro p dada a amostra observada, ou seja, log L(p mid x), e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
111011010110
O valor de p para o qual a função log L(p mid x) atinge o seu máximo, é de:
square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre estatística, mais especificamente sobre a distribuição de Bernoulli. O que precisamos fazer aqui é encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro $ p $ com base na amostra que foi fornecida. A partir disso, vamos calcular o valor de $ p $ que faz essa função atingir o seu máximo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Bernoulli. Essa distribuição descreve experimentos que têm apenas dois resultados possíveis: “sucesso” (geralmente representado por 1) e “fracasso” (representado por 0). O parâmetro $ p $ representa a probabilidade de sucesso.

Passo 3

A função de verossimilhança para uma distribuição de Bernoulli, com uma amostra de tamanho $ n $, é dada por:
n
onde:
  • $ k $ é o número de sucessos na amostra
  • $ n $ é o tamanho da amostra
No nosso caso, a amostra é “111011010110”, que tem 12 observações (n = 12). Vamos contar quantos são 1s (sucessos).

Passo 4

Contando os 1s na amostra:
1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0
Temos 8 sucessos. Então, $ k = 8 $.

Passo 5

Agora, vamos montar a função de verossimilhança com esses valores:
L(p mid x) = p^8 (1 - p)^12 - 8 = p^8 (1 - p)^4

Passo 6

Para facilitar os cálculos, vamos usar o logaritmo da função de verossimilhança, que é a log verossimilhança:
log L(p mid x) = 8 ln(p) + 4 ln(1 - p)

Passo 7

Para encontrar o valor de $ p $ que maximiza a log verossimilhança, precisamos derivar essa expressão em relação a $ p $ e igualar a zero:
p

Passo 8

Resolvendo a equação:
8p = 41 - p
Multiplicando ambos os lados por $ p(1 - p) $:
p(1 - p)
8(1 - p) = 4p
Somando $ 8p $ em ambos os lados:
8 - 8p = 4p
Dividindo por 12:
8p

Resposta

O valor de $ p $ que maximiza a função de log verossimilhança é 0,67.

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