Considere a seguir os valores de uma amostra aleatória de tamanho 12 retirada de uma população com distribuição Bernoulli com parâmetro
. Encontre a função de log verossimilhança do parâmetro
dada a amostra observada, ou seja,
, e calcule o que se pede (utilizar 2 casas decimais).
111011010110
O valor de
para o qual a função
atinge o seu máximo, é de:
111011010110
O valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre estatística, mais especificamente sobre a distribuição de Bernoulli. O que precisamos fazer aqui é encontrar a função de log verossimilhança do parâmetro $ p $ com base na amostra que foi fornecida. A partir disso, vamos calcular o valor de $ p $ que faz essa função atingir o seu máximo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Bernoulli. Essa distribuição descreve experimentos que têm apenas dois resultados possíveis: “sucesso” (geralmente representado por 1) e “fracasso” (representado por 0). O parâmetro $ p $ representa a probabilidade de sucesso.
Passo 3
A função de verossimilhança para uma distribuição de Bernoulli, com uma amostra de tamanho $ n $, é dada por:
onde:
- $ k $ é o número de sucessos na amostra
- $ n $ é o tamanho da amostra
No nosso caso, a amostra é “111011010110”, que tem 12 observações (n = 12). Vamos contar quantos são 1s (sucessos).
Passo 4
Contando os 1s na amostra:
Temos 8 sucessos. Então, $ k = 8 $.
Passo 5
Agora, vamos montar a função de verossimilhança com esses valores:
Passo 6
Para facilitar os cálculos, vamos usar o logaritmo da função de verossimilhança, que é a log verossimilhança:
Passo 7
Para encontrar o valor de $ p $ que maximiza a log verossimilhança, precisamos derivar essa expressão em relação a $ p $ e igualar a zero:
Passo 8
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por $ p(1 - p) $:
Somando $ 8p $ em ambos os lados:
Dividindo por 12:
Resposta
O valor de $ p $ que maximiza a função de log verossimilhança é 0,67.