Uma máquina enche latas de detergente cujos volumes se comportam de acordo com o modelo Normal. Considere que uma amostra de 16 latas são observadas, as quais apresentam um volume médio de 4936.8 ml e uma variância
igual a 787.6 . Determine um intervalo com
de confiança para a verdadeira variância populacional. Utilize 2 casas decimais.
2. Qual é o limite superior do intervalo de confiança?
2. Qual é o limite superior do intervalo de confiança?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma máquina que enche latas de detergente e sabemos que o volume dessas latas segue um modelo Normal. Foi observada uma amostra de 16 latas com um volume médio de 4936,8 ml e uma variância amostral de $ s^{2} = 787,6
\chi^2 $), que é adequada quando lidamos com variâncias em uma distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para o intervalo de confiança da variância populacional. Em uma distribuição normal, o intervalo de confiança para $ \sigma^{2} $ é dado por:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra.
- $ s^{2} $ é a variância amostral.
- $ \chi^{2}{\alpha/2} $ e $ \chi^{2}{1-\alpha/2} $ são os valores críticos da distribuição Qui-Quadrado para os percentis correspondentes.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- $ n = 16 $
- $ s^{2} = 787,6 $
- O nível de confiança é de 95%, então $ \alpha = 0,05 $
- Graus de liberdade $ df = n - 1 = 15 $
Precisamos encontrar os valores críticos da distribuição Qui-Quadrado para $ \alpha/2 = 0,025 $ e $ 1 - \alpha/2 = 0,975 $ com 15 graus de liberdade. Consultando uma tabela de distribuição Qui-Quadrado ou utilizando uma calculadora estatística, encontramos:
- $ \chi^{2}_{0,025} \approx 27,488 $
- $ \chi^{2}_{0,975} \approx 7,261 $
Passo 4
Agora, aplicamos os valores na fórmula do intervalo de confiança:
Calculando cada parte:
Resposta
O limite superior do intervalo de confiança é aproximadamente 1625,78 ml².