Uma máquina enche latas de detergente cujos volumes se comportam de acordo com o modelo Normal. Considere que uma amostra de 16 latas são observadas, as quais apresentam um volume médio de 4936.8 ml e uma variância s^2 igual a 787.6 . Determine um intervalo com 95 % de confiança para a verdadeira variância populacional. Utilize 2 casas decimais.
2. Qual é o limite superior do intervalo de confiança? square

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma máquina que enche latas de detergente e sabemos que o volume dessas latas segue um modelo Normal. Foi observada uma amostra de 16 latas com um volume médio de 4936,8 ml e uma variância amostral de $ s^{2} = 787,6 s^2 = 787,6 ç \chi^2 $), que é adequada quando lidamos com variâncias em uma distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para o intervalo de confiança da variância populacional. Em uma distribuição normal, o intervalo de confiança para $ \sigma^{2} $ é dado por:
sigma^2
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra.
  • $ s^{2} $ é a variância amostral.
  • $ \chi^{2}{\alpha/2} $ e $ \chi^{2}{1-\alpha/2} $ são os valores críticos da distribuição Qui-Quadrado para os percentis correspondentes.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • $ n = 16 $
  • $ s^{2} = 787,6 $
  • O nível de confiança é de 95%, então $ \alpha = 0,05 $
  • Graus de liberdade $ df = n - 1 = 15 $
Precisamos encontrar os valores críticos da distribuição Qui-Quadrado para $ \alpha/2 = 0,025 $ e $ 1 - \alpha/2 = 0,975 $ com 15 graus de liberdade. Consultando uma tabela de distribuição Qui-Quadrado ou utilizando uma calculadora estatística, encontramos:
  • $ \chi^{2}_{0,025} \approx 27,488 $
  • $ \chi^{2}_{0,975} \approx 7,261 $

Passo 4

Agora, aplicamos os valores na fórmula do intervalo de confiança:
( (16-1) times 787,627,488, (16-1) times 787,67,261 )
Calculando cada parte:
Limite Inferior = 15 times 787,627,488 approx 1181427,488 approx 429,45
Limite Superior = 15 times 787,67,261 approx 118147,261 approx 1625,78

Resposta

O limite superior do intervalo de confiança é aproximadamente 1625,78 ml².

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