Uma máquina enche latas de detergente cujos volumes se comportam de acordo com o modelo Normal. Considere que uma amostra de 16 latas são observadas, as quais apresentam um volume médio de 4936.8 ml e uma variância
igual a 787.6 . Determine um intervalo com
de confiança para a verdadeira variância populacional. Utilize 2 casas decimais.
- Qual é o limite inferior do intervalo de confiança?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma fábrica que enche latas de detergente, e os volumes dessas latas seguem uma distribuição Normal. A gente tem uma amostra de 16 latas com um volume médio de 4936.8 ml e uma variância amostral de 787.6. Nosso objetivo aqui é determinar o limite inferior de um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira variância da população. Para isso, vamos precisar entender um pouco de estatística, especialmente sobre intervalos de confiança e a distribuição qui-quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando queremos estimar a variância de uma população com base em uma amostra, e sabemos que os dados seguem uma distribuição Normal, usamos a distribuição qui-quadrado (χ²). O intervalo de confiança para a variância é calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui:
- $ n $ é o tamanho da amostra (que é 16 nesse caso),
- $ s^{2} $ é a variância amostral (787.6),
- $ \chi^{2}{1-\alpha/2} $ e $ \chi^{2}{\alpha/2} $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os graus de liberdade $ df = n - 1 $ e o nível de confiança desejado.
Como queremos o limite inferior, vamos focar na primeira parte da fórmula.
Passo 3
Vamos identificar os valores que precisamos:
- Tamanho da amostra (n): 16
- Variância amostral ($ s^{2} $): 787.6
- Graus de liberdade (df): $ n - 1 = 16 - 1 = 15 $
- Nível de confiança: 95%, então $ \alpha = 0.05 $
Precisamos encontrar o valor crítico $ \chi^{2}_{1-\alpha/2} $ para $ df = 15 $. Olhando em uma tabela de distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística, encontramos que:
Passo 4
Agora, vamos aplicar os valores na fórmula do limite inferior:
Vamos calcular isso passo a passo:
- Multiplicamos $ (n-1) $ por $ s^{2} $:
- Dividimos esse resultado pelo valor crítico $ \chi^{2}_{0.975, 15} $:
Resposta
O limite inferior do intervalo de confiança é aproximadamente 1.889,87 ml².