Uma máquina enche latas de detergente cujos volumes se comportam de acordo com o modelo Normal. Considere que uma amostra de 16 latas são observadas, as quais apresentam um volume médio de 4936.8 ml e uma variância s^2 igual a 787.6 . Determine um intervalo com 95 % de confiança para a verdadeira variância populacional. Utilize 2 casas decimais.
  1. Qual é o limite inferior do intervalo de confiança? square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma fábrica que enche latas de detergente, e os volumes dessas latas seguem uma distribuição Normal. A gente tem uma amostra de 16 latas com um volume médio de 4936.8 ml e uma variância amostral de 787.6. Nosso objetivo aqui é determinar o limite inferior de um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira variância da população. Para isso, vamos precisar entender um pouco de estatística, especialmente sobre intervalos de confiança e a distribuição qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando queremos estimar a variância de uma população com base em uma amostra, e sabemos que os dados seguem uma distribuição Normal, usamos a distribuição qui-quadrado (χ²). O intervalo de confiança para a variância é calculado usando a seguinte fórmula:
( (n-1)s^2chi^21-alpha/2, (n-1)s^2chi^2alpha/2 )
Aqui:
  • $ n $ é o tamanho da amostra (que é 16 nesse caso),
  • $ s^{2} $ é a variância amostral (787.6),
  • $ \chi^{2}{1-\alpha/2} $ e $ \chi^{2}{\alpha/2} $ são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os graus de liberdade $ df = n - 1 $ e o nível de confiança desejado.
Como queremos o limite inferior, vamos focar na primeira parte da fórmula.

Passo 3

Vamos identificar os valores que precisamos:
  • Tamanho da amostra (n): 16
  • Variância amostral ($ s^{2} $): 787.6
  • Graus de liberdade (df): $ n - 1 = 16 - 1 = 15 $
  • Nível de confiança: 95%, então $ \alpha = 0.05 $
Precisamos encontrar o valor crítico $ \chi^{2}_{1-\alpha/2} $ para $ df = 15 $. Olhando em uma tabela de distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística, encontramos que:
s^2

Passo 4

Agora, vamos aplicar os valores na fórmula do limite inferior:
Limite Inferior = (n-1)s^2chi^21-alpha/2 = 15 times 787.66.262
Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Multiplicamos $ (n-1) $ por $ s^{2} $:
(n-1)
  1. Dividimos esse resultado pelo valor crítico $ \chi^{2}_{0.975, 15} $:
s^2

Resposta

O limite inferior do intervalo de confiança é aproximadamente 1.889,87 ml².

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