Considere a distribuição conjunta de
e
, parcialmente conhecida, dada na tabela abaixo.
(a) Complete a tabela, considerando X e Y independentes.
(b) Calcule as médias e variâncias de X e Y .
(c) Obtenha as distribuições condicionais de X , dado que
, e de Y , dado que
.
(d) Calcule
e
.
(a) Complete a tabela, considerando X e Y independentes.
(b) Calcule as médias e variâncias de X e Y .
(c) Obtenha as distribuições condicionais de X , dado que
(d) Calcule
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Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Completar a tabela da distribuição conjunta de
e supondo que e são independentes. - (b) Calcular as médias e variâncias de
e de . - (c) Determinar as distribuições condicionais de
dado e de dado . - (d) Calcular
e .
Informações fornecidas (retiradas da tabela do enunciado):
- Existem três valores possíveis para
: . - Existem três valores possíveis para
: . - A tabela mostra explicitamente os seguintes valores de probabilidade conjunta:
-
- A tabela também fornece a probabilidade marginal
- Algumas células da tabela estão em branco; a hipótese adicional do enunciado é que
e são independentes, ou seja
Passo 2
Estratégia para completar a tabela sob independência (aula rápida).
- Se
e são independentes, então a probabilidade conjunta fatoriza: - Denoto as marginais desconhecidas por
com - Para
escrevo com . - A partir das probabilidades conjuntas conhecidas e da independência obtemos equações:
Observe que as duas primeiras implicam (pois já que ).
Passo 3
Resolver as equações para
(passo a passo).
- Das duas equações
e vem . - Da primeira equação obtemos
. - Da terceira equação
obtemos . - Usando
substituindo e : - Somando as frações com
no denominador: Então a equação fica - Isolando
: - Multiplicando por
: - Como
, temos . Logo - Agora
- E
Verificação rápida:
. E
. Correto.
Passo 4
Preencher toda a tabela conjunta usando a fatorização
.
- Marginais encontradas:
- Assim os valores de
são (calcular cada produto): -
-
-
-
(dado). -
-
(dado). -
(dado). -
-
-
Esses nove números são a tabela conjunta completa e somam
.
Passo 5
Calcular as médias e variâncias (explicando as fórmulas).
- Fórmula da média (valor esperado) para variável discreta
: Aqui toma com probabilidades dadas. - Fórmula da variância:
onde .
Calcule para
:
Calcule para
:
Passo 6
Distribuições condicionais pedidas em (c) — conceito e cálculo.
- Definição: quando
, a distribuição condicional de dado é Se , a condicional não está definida (é impropriamente definida). - No caso
temos . Portanto a distribuição condicional de dado NÃO existe (é indefinida), pois não se pode dividir por zero. - Para
dado : usamos Sabemos . Assim: -
Passo 7
Cálculo de
e
(com propriedade da independência).
- Em geral
. Já temos e . Logo - Para a variância, vale
Mas se e são independentes, . Portanto
Resposta
(a) Tabela conjunta completa (linhas
; colunas
):
Marginais:
Marginais:
Marginais:
Marginais:
(b)
(c)
não está definida porque
(d)