Considere a distribuição conjunta de X e Y, parcialmente conhecida, dada na tabela abaixo.
(a) Complete a tabela, considerando X e Y independentes.
(b) Calcule as médias e variâncias de X e Y .
(c) Obtenha as distribuições condicionais de X , dado que \mathrm{Y}=0, e de Y , dado que \mathrm{X}=1.
(d) Calcule \mathrm{E}(\mathrm{X}+\mathrm{Y}) e \operatorname{Var}(\mathrm{X}+\mathrm{Y}).
\mathbf{Y} \mathbf{- 1} \mathbf{0} \mathbf{1} \mathbf{P}(\mathbf{Y}=\mathbf{y})
\mathbf{X} 1 / 12
\mathbf{- 1} 1 / 3
\mathbf{0} 1 / 4 1 / 4
\mathbf{1} \mathbf{P}(\mathbf{X}=\mathbf{x})

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Completar a tabela da distribuição conjunta de X e Y supondo que X e Y são independentes.
  • (b) Calcular as médias e variâncias de X e de Y.
  • (c) Determinar as distribuições condicionais de X dado \,Y=0 e de Y dado \,X=1.
  • (d) Calcular \mathrm{E}(X+Y) e \operatorname{Var}(X+Y).
Informações fornecidas (retiradas da tabela do enunciado):
  • Existem três valores possíveis para X: -1,0,1.
  • Existem três valores possíveis para Y: -1,0,1.
  • A tabela mostra explicitamente os seguintes valores de probabilidade conjunta:
    • \,P(X=0,\,Y=-1)=\tfrac{1}{4}.
    • \,P(X=0,\,Y=1)=\tfrac{1}{4}.
    • \,P(X=1,\,Y=-1)=\tfrac{1}{12}.
  • A tabela também fornece a probabilidade marginal \,P(X=-1)=\tfrac{1}{3}.
  • Algumas células da tabela estão em branco; a hipótese adicional do enunciado é que X e Y são independentes, ou seja P(X=x,Y=y)=P(X=x)\,P(Y=y)\quad\text{para todo }x,y.

Passo 2

Estratégia para completar a tabela sob independência (aula rápida).
  • Se X e Y são independentes, então a probabilidade conjunta fatoriza: P(X=x,Y=y)=P(X=x)\,P(Y=y).
  • Denoto as marginais desconhecidas por p_X(-1)=\tfrac{1}{3}\quad(\text{dado}),\qquad p_X(0)=a,\qquad p_X(1)=b,com a+b+\tfrac{1}{3}=1\quad\Rightarrow\quad a+b=\tfrac{2}{3}.
  • Para Y escrevo p_Y(-1)=u,\qquad p_Y(0)=v,\qquad p_Y(1)=w,com u+v+w=1.
  • A partir das probabilidades conjuntas conhecidas e da independência obtemos equações: a\,u=\tfrac{1}{4},\qquad a\,w=\tfrac{1}{4},\qquad b\,u=\tfrac{1}{12}.Observe que as duas primeiras implicam u=w (pois a\neq0 já que a\,u=1/4>0).

Passo 3

Resolver as equações para a,b,u,v,w (passo a passo).
  1. Das duas equações a\,u=\tfrac{1}{4} e a\,w=\tfrac{1}{4} vem u=w.
  2. Da primeira equação obtemos a=\dfrac{1}{4u}.
  3. Da terceira equação b\,u=\dfrac{1}{12} obtemos b=\dfrac{1}{12u}.
  4. Usando a+b+\tfrac{1}{3}=1 substituindo a e b: \frac{1}{4u}+\frac{1}{12u}+\frac{1}{3}=1.
  5. Somando as frações com u no denominador: \frac{1}{4u}+\frac{1}{12u}=\frac{3+1}{12u}=\frac{4}{12u}=\frac{1}{3u}.Então a equação fica \frac{1}{3u}+\frac{1}{3}=1.
  6. Isolando \dfrac{1}{3u}: \frac{1}{3u}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
  7. Multiplicando por 3: \dfrac{1}{u}=2\Rightarrow u=\tfrac{1}{2}.
  8. Como u=w, temos w=\tfrac{1}{2}. Logo v=1-u-w=1-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0.
  9. Agora a=\dfrac{1}{4u}=\dfrac{1}{4\cdot(1/2)}=\dfrac{1}{2}.
  10. E b=\dfrac{1}{12u}=\dfrac{1}{12\cdot(1/2)}=\dfrac{1}{6}.
Verificação rápida: p_X(-1)+p_X(0)+p_X(1)=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}=1. E u+v+w=\tfrac{1}{2}+0+\tfrac{1}{2}=1. Correto.

Passo 4

Preencher toda a tabela conjunta usando a fatorização P(X=x,Y=y)=p_X(x)p_Y(y).
  • Marginais encontradas: p_X(-1)=\tfrac{1}{3},\quad p_X(0)=\tfrac{1}{2},\quad p_X(1)=\tfrac{1}{6},
p_Y(-1)=\tfrac{1}{2},\quad p_Y(0)=0,\quad p_Y(1)=\tfrac{1}{2}.
  • Assim os valores de P(X=x,Y=y) são (calcular cada produto):
    • P(X=-1,Y=-1)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{6}.
    • P(X=-1,Y=0)=\tfrac{1}{3}\cdot 0=0.
    • P(X=-1,Y=1)=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{6}.
    • P(X=0,Y=-1)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4} (dado).
    • P(X=0,Y=0)=\tfrac{1}{2}\cdot 0=0.
    • P(X=0,Y=1)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4} (dado).
    • P(X=1,Y=-1)=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{12} (dado).
    • P(X=1,Y=0)=\tfrac{1}{6}\cdot 0=0.
    • P(X=1,Y=1)=\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{12}.
Esses nove números são a tabela conjunta completa e somam 1.

Passo 5

Calcular as médias e variâncias (explicando as fórmulas).
  • Fórmula da média (valor esperado) para variável discreta X: \mathrm{E}(X)=\sum_x x\,P(X=x).Aqui X toma -1,0,1 com probabilidades dadas.
  • Fórmula da variância: \operatorname{Var}(X)=\mathrm{E}(X^2)-\big(\mathrm{E}(X)\big)^2,onde \mathrm{E}(X^2)=\sum_x x^2 P(X=x).
Calcule para X:
  • \mathrm{E}(X) = (-1)\cdot\tfrac{1}{3}+0\cdot\tfrac{1}{2}+1\cdot\tfrac{1}{6}=-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}=-\tfrac{1}{6}.
  • \mathrm{E}(X^2)=(-1)^2\cdot\tfrac{1}{3}+0^2\cdot\tfrac{1}{2}+1^2\cdot\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}.
  • \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{2}-\left(-\tfrac{1}{6}\right)^2=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{36}=\dfrac{18-1}{36}=\dfrac{17}{36}.
Calcule para Y:
  • \mathrm{E}(Y)=(-1)\cdot\tfrac{1}{2}+0\cdot 0+1\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=0.
  • \mathrm{E}(Y^2)=(-1)^2\cdot\tfrac{1}{2}+0^2\cdot 0+1^2\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
  • \operatorname{Var}(Y)=1-0^2=1.

Passo 6

Distribuições condicionais pedidas em (c) — conceito e cálculo.
  • Definição: quando P(Y=y)>0, a distribuição condicional de X dado Y=y é P(X=x\mid Y=y)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}.Se P(Y=y)=0, a condicional P(X=x\mid Y=y) não está definida (é impropriamente definida).
  • No caso Y=0 temos P(Y=0)=v=0. Portanto a distribuição condicional de X dado Y=0 NÃO existe (é indefinida), pois não se pode dividir por zero.
  • Para Y dado X=1: usamos P(Y=y\mid X=1)=\frac{P(X=1,Y=y)}{P(X=1)}.Sabemos P(X=1)=\tfrac{1}{6}. Assim:
    • P(Y=-1\mid X=1)=\dfrac{P(1,-1)}{P(X=1)}=\dfrac{1/12}{1/6}=\tfrac{1}{2}.
    • P(Y=0\mid X=1)=\dfrac{0}{1/6}=0.
    • P(Y=1\mid X=1)=\dfrac{1/12}{1/6}=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Cálculo de \mathrm{E}(X+Y) e \operatorname{Var}(X+Y) (com propriedade da independência).
  • Em geral \mathrm{E}(X+Y)=\mathrm{E}(X)+\mathrm{E}(Y). Já temos \mathrm{E}(X)=-\tfrac{1}{6} e \mathrm{E}(Y)=0. Logo \mathrm{E}(X+Y)=-\tfrac{1}{6}.
  • Para a variância, vale \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y).Mas se X e Y são independentes, \operatorname{Cov}(X,Y)=0. Portanto \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)=\tfrac{17}{36}+1=\tfrac{17+36}{36}=\tfrac{53}{36}.

Resposta

(a) Tabela conjunta completa (linhas X=-1,0,1; colunas Y=-1,0,1):
P(-1,-1)=\tfrac{1}{6},\; P(-1,0)=0,\; P(-1,1)=\tfrac{1}{6};
P(0,-1)=\tfrac{1}{4},\; P(0,0)=0,\; P(0,1)=\tfrac{1}{4};
P(1,-1)=\tfrac{1}{12},\; P(1,0)=0,\; P(1,1)=\tfrac{1}{12}.
Marginais: P(X=-1)=\tfrac{1}{3},\;P(X=0)=\tfrac{1}{2},\;P(X=1)=\tfrac{1}{6}.
Marginais: P(Y=-1)=\tfrac{1}{2},\;P(Y=0)=0,\;P(Y=1)=\tfrac{1}{2}.
(b) \mathrm{E}(X)=-\tfrac{1}{6},\; \operatorname{Var}(X)=\tfrac{17}{36}.
\mathrm{E}(Y)=0,\; \operatorname{Var}(Y)=1.
(c) P(X=x\mid Y=0) não está definida porque P(Y=0)=0.
P(Y=-1\mid X=1)=\tfrac{1}{2},\; P(Y=0\mid X=1)=0,\; P(Y=1\mid X=1)=\tfrac{1}{2}.
(d) \mathrm{E}(X+Y)=-\tfrac{1}{6},\; \operatorname{Var}(X+Y)=\tfrac{53}{36}.

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