O Serviço de Atendimento ao Consumidor de uma empresa possui seis linhas telefônicas. Seja X o número de linhas ocupadas em certo momento. A distribuição de probabilidade de X é dada abaixo:
x p(x)
0 0,10
1 0,15
2 0,20
3 0,25
4 0,20
5 0,06
6 0,04
Calcule a probabilidade de cada um dos seguintes eventos:
No máximo três linhas estão ocupadas.

Passo 1

O enunciado nos dá a variável aleatória discreta X = número de linhas ocupadas (de 0 a 6) com a distribuição de probabilidade:
\begin{array}{ll} x & p(x)\\hline 0 & 0,10\\\\ 1 & 0,15\\\\ 2 & 0,20\\\\ 3 & 0,25\\\\ 4 & 0,20\\\\ 5 & 0,06\\\\ 6 & 0,04 \end{array}
A pergunta que precisamos responder é: qual é a probabilidade de que, naquele momento, no máximo três linhas estejam ocupadas? Ou seja, precisamos calcular a probabilidade do evento ``no máximo três linhas ocupadas’’.

Passo 2

Interpretando o evento em termos de X: ``no máximo três linhas ocupadas’’ significa que X assume um valor menor ou igual a 3. Em notação:
\text{evento}=\{X\le 3\}.
Para uma variável discreta, a probabilidade de um evento formado por vários valores distintos e mutuamente exclusivos é a soma das probabilidades desses valores. Portanto, usamos a soma das probabilidades de X=0,1,2,3:
P(X\le 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3).

Passo 3

Vou calcular a soma passo a passo, pegando os valores da tabela fornecida:
P(X=0)=0,10,\quad P(X=1)=0,15,\quad P(X=2)=0,20,\quad P(X=3)=0,25.
Somando em etapas para não se perder:
0,10+0,15=0,25,
0,25+0,20=0,45,
0,45+0,25=0,70.

Passo 4

Como verificação alternativa (útil para prova): podemos usar o complemento. Note que
P(X\le 3)=1-P(X\ge 4)=1-\bigl(P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)\bigr).
Pegando os números da tabela:
P(X=4)=0,20,\quad P(X=5)=0,06,\quad P(X=6)=0,04,
P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=0,20+0,06+0,04=0,30,
1-0,30=0,70,
o que confirma o cálculo anterior.

Resposta

P(X\le 3)=0,70

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