Seja
, para
a função densidade de uma v.a. contínua
. Qual a
?E o valor médio dessa v.a.?
Passo 1
O enunciado dá a função densidade
para
e pede duas coisas:
-
; - o valor médio (esperança) da variável aleatória
.
Informações relevantes fornecidas:
- A densidade é
no intervalo (e fora desse intervalo, implícito). - Quer-se a probabilidade de
cair no intervalo . - Quer-se também
, o valor médio.
Passo 2
Verificar rapidamente que
é uma densidade válida (propriedades de uma densidade):
- Deve ser não-negativa em todo lugar:
para — ok. - Deve integrar 1 no suporte: calcular a integral de
em .
Vamos integrar passo a passo: a primitiva de
é
(porque
). Então
Portanto
é uma densidade válida.
Passo 3
Regra para probabilidades com densidade contínua: a probabilidade de
cair num intervalo
é a integral da densidade nesse intervalo:
Aplicando com
e
:
Calcular a integral: a primitiva de
é
, então
Em forma decimal, isso é
.
Passo 4
Uma maneira alternativa (útil na prova) é usar a função de distribuição acumulada
. Para
,
Então
, mesmo resultado. Isso é útil porque às vezes pedem
em outras questões.
Passo 5
Definição do valor médio (esperança) para variável contínua: é a integral do produto
pela densidade,
Aqui
só em
, então
Calcular a integral passo a passo: a primitiva de
é
(pois
). Assim
Em forma decimal, isso é aproximadamente
.
Passo 6
Resumo interpretativo rápido e dica de prova:
- A probabilidade no subintervalo sai integrando a densidade nesse intervalo.
- A esperança é a média ponderada dos valores
com peso ; formula prática . - Sempre verifique que
antes de usar como densidade (pode salvar você em questões-truque).