Seja f(x)=2 x, para 0 \leq x \leq 1 a função densidade de uma v.a. contínua X. Qual a P(0 \leq X \leq 1 / 2) ?E o valor médio dessa v.a.?

Passo 1

O enunciado dá a função densidade f(x)=2x para 0\le x\le1 e pede duas coisas:
  • P(0\le X\le 1/2);
  • o valor médio (esperança) da variável aleatória X.
Informações relevantes fornecidas:
  • A densidade é f(x)=2x no intervalo [0,1] (e f(x)=0 fora desse intervalo, implícito).
  • Quer-se a probabilidade de X cair no intervalo [0,1/2].
  • Quer-se também \mathbb{E}[X], o valor médio.

Passo 2

Verificar rapidamente que f é uma densidade válida (propriedades de uma densidade):
  • Deve ser não-negativa em todo lugar: 2x\ge0 para x\in[0,1] — ok.
  • Deve integrar 1 no suporte: calcular a integral de f em [0,1].
\int_{0}^{1} 2x\,dx.
Vamos integrar passo a passo: a primitiva de 2x é x^{2} (porque \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x). Então
\int_{0}^{1} 2x\,dx = \Big[x^{2}\Big]_{0}^{1} = 1^{2}-0^{2}=1.
Portanto f é uma densidade válida.

Passo 3

Regra para probabilidades com densidade contínua: a probabilidade de X cair num intervalo [a,b] é a integral da densidade nesse intervalo:
P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aplicando com a=0 e b=\tfrac{1}{2}:
P\big(0\le X\le \tfrac{1}{2}\big)=\int_{0}^{1/2} 2x\,dx.
Calcular a integral: a primitiva de 2x é x^{2}, então
\int_{0}^{1/2} 2x\,dx = \Big[x^{2}\Big]_{0}^{1/2} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-0^{2}=\tfrac{1}{4}.
Em forma decimal, isso é 0,25.

Passo 4

Uma maneira alternativa (útil na prova) é usar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x). Para x\in[0,1],
F(x)=\int_{0}^{x} 2t\,dt = x^{2}.
Então P(0\le X\le \tfrac{1}{2})=F(\tfrac{1}{2})-F(0)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-0=\tfrac{1}{4}, mesmo resultado. Isso é útil porque às vezes pedem F(x) em outras questões.

Passo 5

Definição do valor médio (esperança) para variável contínua: é a integral do produto x pela densidade,
\mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
Aqui f(x)=2x só em [0,1], então
\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{1} x\cdot 2x\,dx = \int_{0}^{1} 2x^{2}\,dx.
Calcular a integral passo a passo: a primitiva de 2x^{2} é \tfrac{2}{3}x^{3} (pois \dfrac{d}{dx}\big(\tfrac{2}{3}x^{3}\big)=2x^{2}). Assim
\mathbb{E}[X]=\Big[\tfrac{2}{3}x^{3}\Big]_{0}^{1} = \tfrac{2}{3}\cdot 1^{3}-0 = \tfrac{2}{3}.
Em forma decimal, isso é aproximadamente 0,666\ldots.

Passo 6

Resumo interpretativo rápido e dica de prova:
  • A probabilidade no subintervalo sai integrando a densidade nesse intervalo.
  • A esperança é a média ponderada dos valores x com peso f(x); formula prática \mathbb{E}[X]=\int x f(x)\,dx.
  • Sempre verifique que \int f=1 antes de usar f como densidade (pode salvar você em questões-truque).

Resposta

P(0\le X\le \tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{4}
\mathbb{E}[X]=\tfrac{2}{3}

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