Considere a distribuição de frequência com as notas de 60 alunos em uma prova de Estatística.
Notas No de alunos
0 |--- 4 5
4 |--- 8 20
8 \mid---12 12
12 \mid---16 20
16 \mid---20 3
Determine a variância das notas dos alunos.
a) 25,94
b) 10,23
c) 19,13
d) 4,37
e) 15,75

Passo 1

O enunciado pede: determinar a variância das notas dos 60 alunos, a partir da distribuição por classes abaixo. Dados fornecidos (classe \mid número de alunos):
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Notas} & \text{No de alunos} \\\ \hline 0\mid---4 & 5 \\\\ 4\mid---8 & 20 \\\\ 8\mid---12 & 12 \\\\ 12\mid---16 & 20 \\\\ 16\mid---20 & 3 \\\ \hline \end{array}
Total de observações: N=60. A pergunta é: qual a variância das notas (entre as alternativas dadas)?

Passo 2

Como temos dados agrupados em classes, vamos aproximar as notas dentro de cada classe pelo ponto médio (a prática padrão em estatística para dados agrupados). Vou usar a fórmula da média amostral (média das notas aproximadas pelos pontos médios) e a fórmula da variância para dados agrupados.
Apresento as fórmulas que usarei e explico cada símbolo:
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i} f_i x_i,
onde f_i é a frequência da i-ésima classe, x_i é o ponto médio da i-ésima classe e N=\sum_i f_i é o total de observações.
Para a variância (populacional, adotada para a distribuição inteira):
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i} f_i x_i^2 - \bar{x}^2.
Interpretação: \frac{1}{N}\sum f_i x_i^2 é a média dos quadrados e subtrai-se o quadrado da média para obter a variância.

Passo 3

Calcular os pontos médios x_i de cada classe. O ponto médio é a média dos limites da classe:
\begin{aligned} \text{Para }0\mid---4 &: \; x_1=\frac{0+4}{2}=2,\\\ \text{Para }4\mid---8 &: \; x_2=\frac{4+8}{2}=6,\\\ \text{Para }8\mid---12 &: \; x_3=\frac{8+12}{2}=10,\\\ \text{Para }12\mid---16 &: \; x_4=\frac{12+16}{2}=14,\\\ \text{Para }16\mid---20 &: \; x_5=\frac{16+20}{2}=18. \end{aligned}

Passo 4

Calcular a média \bar{x} usando \bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum f_i x_i. Primeiro os produtos f_i x_i:
\begin{aligned} f_1 x_1 &= 5\cdot 2 = 10,\\\ f_2 x_2 &= 20\cdot 6 = 120,\\\ f_3 x_3 &= 12\cdot 10 = 120,\\\ f_4 x_4 &= 20\cdot 14 = 280,\\\ f_5 x_5 &= 3\cdot 18 = 54. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i x_i = 10+120+120+280+54 = 584.
Então a média é
\bar{x}=\frac{584}{60}=\frac{146}{15}\approx 9{,}733333\ldots
(guardei a forma fracionária \dfrac{146}{15} para cálculos exatos quando necessário).

Passo 5

Agora uso a fórmula da variância por médias de quadrados:
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2 - \bar{x}^2.
Vou calcular \sum_i f_i x_i^2. Primeiro os x_i^2 e depois f_i x_i^2.

Passo 6

Calcular x_i^2 e f_i x_i^2:
\begin{aligned} x_1^2 &= 2^2 = 4, & f_1 x_1^2 &= 5\cdot 4 = 20,\\\ x_2^2 &= 6^2 = 36, & f_2 x_2^2 &= 20\cdot 36 = 720,\\\ x_3^2 &= 10^2 = 100, & f_3 x_3^2 &= 12\cdot 100 = 1200,\\\ x_4^2 &= 14^2 = 196, & f_4 x_4^2 &= 20\cdot 196 = 3920,\\\ x_5^2 &= 18^2 = 324, & f_5 x_5^2 &= 3\cdot 324 = 972. \end{aligned}
Somando:
\sum_i f_i x_i^2 = 20+720+1200+3920+972 = 6832.
A média dos quadrados é
\frac{1}{N}\sum_i f_i x_i^2 = \frac{6832}{60} \approx 113{,}866666\ldots

Passo 7

Calcular \bar{x}^2 e então \sigma^2:
\bar{x}^2=\left(\frac{584}{60}\right)^2=\left(\frac{146}{15}\right)^2=\frac{21316}{225}\approx 94{,}737777\ldots
Portanto
\sigma^2=\frac{6832}{60}-\left(\frac{146}{15}\right)^2 \approx 113{,}866666\ldots - 94{,}737777\ldots = 19{,}128888\ldots
Arredondando para duas casas decimais (como as alternativas):
\sigma^2 \approx 19{,}13.
Entre as alternativas dadas, corresponde à letra (c).

Resposta

c) 19,13

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