Vinte e um empregados de uma empresa, que frequentaram um curso de primeiros socorros, obtiveram as seguintes notas em uma prova dada ao final do curso:
17 19 14 20 17 17 12
16 16 19 18 15 16 16
17 13 17 16 14 18 17
Determine o desvio padrão das notas dos empregados.
a) 3,76
b) 1,94
c) 1,45
d) 1,12
e) 3,01

Passo 1

O enunciado dá as notas de 21 empregados (lista abaixo) e pede o desvio padrão dessas notas. As notas são:
17,\;19,\;14,\;20,\;17,\;17,\;12,\;16,\;16,\;19,\;18,\;15,\;16,\;16,\;17,\;13,\;17,\;16,\;14,\;18,\;17.
Informações relevantes:
  • Número de observações: N=21.
  • Queremos o desvio padrão das notas dos empregados (tratamos os 21 empregados como a população a ser analisada).
  • Temos que calcular a média, a variância (populacional) e então a raiz quadrada da variância (desvio padrão).

Passo 2

Calcular a média aritmética \bar{x}. A média é a soma das observações dividida por N. Vou somar as notas em três linhas conforme o enunciado:
\text{soma da primeira linha} = 17+19+14+20+17+17+12 = 116,
\text{soma da segunda linha} = 16+16+19+18+15+16+16 = 116,
\text{soma da terceira linha} = 17+13+17+16+14+18+17 = 112.
Soma total:
\sum_{i=1}^{21} x_i = 116+116+112 = 344.
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i = \frac{344}{21} \approx 16,380952\ldots

Passo 3

Explicar a fórmula da variância populacional e a forma computacional:
  • A variância populacional \sigma^2 é a média dos quadrados dos desvios em relação à média:
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^{2}.
  • Para evitar calcular cada desvio ao quadrado individualmente, é prático usar a fórmula computacional:
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^{2}-\bar{x}^{2},
onde \sum x_i^{2} é a soma dos quadrados das observações e \bar{x} é a média já calculada.
Nessas fórmulas, x_i é a i-ésima observação, N é o número total de observações, \bar{x} é a média e \sigma^{2} é a variância populacional.

Passo 4

Calcular \sum x_i^{2} (soma dos quadrados). Faço por linhas como antes:
Primeira linha (quadrados):
17^{2}+19^{2}+14^{2}+20^{2}+17^{2}+17^{2}+12^{2}=289+361+196+400+289+289+144=1968.
Segunda linha (quadrados):
16^{2}+16^{2}+19^{2}+18^{2}+15^{2}+16^{2}+16^{2}=256+256+361+324+225+256+256=1934.
Terceira linha (quadrados):
17^{2}+13^{2}+17^{2}+16^{2}+14^{2}+18^{2}+17^{2}=289+169+289+256+196+324+289=1812.
Soma total dos quadrados:
\sum_{i=1}^{21} x_i^{2}=1968+1934+1812=5714.

Passo 5

Aplicar a fórmula computacional da variância populacional:
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i^{2}-\bar{x}^{2}.
Substituindo N=21, \sum x_i^{2}=5714 e \bar{x}=\dfrac{344}{21}:
\frac{1}{21}\cdot 5714 - \left(\frac{344}{21}\right)^{2}.
Calculo passo a passo em forma fracionária para exatidão:
\frac{5714}{21}=\frac{5714\cdot 21}{21\cdot 21}=\frac{119994}{441},
\left(\frac{344}{21}\right)^{2}=\frac{118336}{441}.
Subtraindo:
\sigma^{2}=\frac{119994}{441}-\frac{118336}{441}=\frac{1658}{441}\approx 3,761.

Passo 6

Calcular o desvio padrão (raiz quadrada da variância):
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{\frac{1658}{441}}=\frac{\sqrt{1658}}{21}\approx\sqrt{3,761}\approx 1,94.
Arredondando para duas casas decimais obtemos \sigma\approx 1,94. Observação rápida: a opção a) 3,76 corresponde à variância aproximada; o desvio padrão é a raiz dessa quantidade.

Passo 7

Conclusão e dica de prova: usamos a fórmula computacional \sigma^{2}=\dfrac{1}{N}\sum x_i^{2}-\bar{x}^{2} porque é mais rápida em provas (evita calcular todos os x_i-\bar{x} e seus quadrados). Aqui, com N=21, a interpretação é populacional (usamos 1/N); se fosse amostra para estimar a população, usaríamos 1/(N-1).

Resposta

b) 1,94

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