Uma moeda é viciada de tal forma que a probabilidade de sair cara é quatro vezes maior que a probabilidade de sair coroa. A moeda é lançada 4 vezes. Seja
a variável aleatória que conta o número de caras que aparecem. Determine a variância dessa variável aleatória.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- A moeda é viciada de tal forma que a probabilidade de sair cara é quatro vezes maior que a probabilidade de sair coroa.
- A moeda é lançada
vezes. - A variável aleatória
conta o número de caras que aparecem nesses lançamentos. - Pergunta: determinar a variância de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Número de ensaios:
. - Relação entre probabilidades:
. - Queremos
.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a probabilidade de cara (denotada por
) e de coroa (denotada por
). Do enunciado temos:
e também
Substituindo
em
obtemos:
Portanto
Passo 3
Agora justifico o modelo probabilístico para
. Cada lançamento é um ensaio com dois resultados (cara ou coroa), a probabilidade de cara é a mesma em cada lançamento (
) e há um número fixo de ensaios (
). Além disso, assumimos independência entre lançamentos. Logo
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. Escrevemos:
Passo 4
Vamos usar a fórmula da variância para uma binomial. Posso apresentar duas formas equivalentes: a fórmula pronta e a derivação via soma de Bernoullis.
Fórmula pronta:
Derivação rápida (didática): escrevendo
como soma de
variáveis de Bernoulli independentes,
onde cada
é 1 se o
-ésimo lançamento deu cara e 0 caso contrário. Para uma Bernoulli com parâmetro
temos
logo
Como os
são independentes,
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos
e
:
Calcule passo a passo:
Portanto a variância de
é
.
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas, a resposta corresponde à alternativa (a).