Uma moeda é viciada de tal forma que a probabilidade de sair cara é quatro vezes maior que a probabilidade de sair coroa. A moeda é lançada 4 vezes. Seja X a variável aleatória que conta o número de caras que aparecem. Determine a variância dessa variável aleatória.
a) 16 / 25
b) 9 / 16
c) 3 / 4
d) 4 / 5
e) 16 / 5

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • A moeda é viciada de tal forma que a probabilidade de sair cara é quatro vezes maior que a probabilidade de sair coroa.
  • A moeda é lançada \,4\, vezes.
  • A variável aleatória X conta o número de caras que aparecem nesses \,4\, lançamentos.
  • Pergunta: determinar a variância de X.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número de ensaios: n=\;4.
  • Relação entre probabilidades: \displaystyle P(\text{cara})=4\cdot P(\text{coroa}).
  • Queremos \operatorname{Var}(X).

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a probabilidade de cara (denotada por p) e de coroa (denotada por q). Do enunciado temos:
p = 4q
e também
p+q=1.
Substituindo p=4q em p+q=1 obtemos:
4q+q=1 \quad\Rightarrow\quad 5q=1 \quad\Rightarrow\quad q=\frac{1}{5}.
Portanto
p=4q=4\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{5}.

Passo 3

Agora justifico o modelo probabilístico para X. Cada lançamento é um ensaio com dois resultados (cara ou coroa), a probabilidade de cara é a mesma em cada lançamento ( p=\frac{4}{5}) e há um número fixo de ensaios ( n=\;4). Além disso, assumimos independência entre lançamentos. Logo X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=\;4 e p=\frac{4}{5}. Escrevemos:
X \sim \mathrm{Binomial}\big(n=\;4,\;p=\tfrac{4}{5}\big).

Passo 4

Vamos usar a fórmula da variância para uma binomial. Posso apresentar duas formas equivalentes: a fórmula pronta e a derivação via soma de Bernoullis.
Fórmula pronta:
\operatorname{Var}(X)=n p (1-p).
Derivação rápida (didática): escrevendo X como soma de \,n\, variáveis de Bernoulli independentes,
X=\sum_{i=1}^{n} X_i,
onde cada X_i é 1 se o i-ésimo lançamento deu cara e 0 caso contrário. Para uma Bernoulli com parâmetro p temos
\mathbb{E}(X_i)=p,
\mathbb{E}(X_i^2)=\mathbb{E}(X_i)=p\quad(\text{pois }X_i^2=X_i\text{ quando }X_i\in\{0,1\}),
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\operatorname{Var}(X_i)=\mathbb{E}(X_i^2)-\big(\mathbb{E}(X_i)\big)^2=p-p^2=p(1-p).
Como os X_i são independentes,
\operatorname{Var}(X)=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_i)=n\cdot p(1-p).

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos n=\;4 e p=\tfrac{4}{5}:
\operatorname{Var}(X)=4\cdot \frac{4}{5}\cdot\left(1-\frac{4}{5}\right).
Calcule passo a passo:
1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5},
4\cdot \frac{4}{5}\cdot\frac{1}{5}=4\cdot\frac{4}{25}= \frac{16}{25}.
Portanto a variância de X é \displaystyle \frac{16}{25}.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a resposta corresponde à alternativa (a).

Resposta

\dfrac{16}{25} (a)

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