Considere uma distribuição gaussiana para a função de onda
onde
e
são constantes. Suponha que essa distribuição represente a função de onda de uma única partícula de massa
, sob o potencial
, no tempo
.
a) Determine a constante de normalização
. (procure o resultado de integrais que precisar)
b) Determine
.
c) Determine a energia da partícula.
d) Determine a função de onda dessa partícula em um tempo
qualquer.
a) Determine a constante de normalização
b) Determine
c) Determine a energia da partícula.
d) Determine a função de onda dessa partícula em um tempo
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem, no tempo
, uma função de onda gaussiana
para uma partícula de massa
sujeita ao potencial
O conteúdo aqui é o oscilador harmônico quântico (estado fundamental), e o que vamos usar é:
- A condição de normalização
e a integral de Gauss. - A equação de Schrödinger estacionária
para relacionar , e achar a energia. - A evolução temporal de estados estacionários, que só acrescenta uma fase
.
Passo 2
Normalização de
.
A condição é
A condição é
Sabemos da integral de Gauss que
Logo
Passo 3
Determinando
.
O hamiltoniano é
O hamiltoniano é
e queremos que
seja autovetor.
- Calcule
:
- Na equação
, os termos em têm que se anular, o que impõe
Passo 4
Determinando a energia
.
Ainda na mesma equação de autovalor, o termo que sobra (o “constante”) é
Ainda na mesma equação de autovalor, o termo que sobra (o “constante”) é
Passo 5
Evolução temporal
.
Para um estado estacionário, basta multiplicar por uma fase
Para um estado estacionário, basta multiplicar por uma fase
Resposta
A gente termina com: