Considere uma distribuição gaussiana para a função de onda
Psi(x, 0)=A e^-lambda(x-a)^2
onde A, lambda e a são constantes. Suponha que essa distribuição represente a função de onda de uma única partícula de massa m, sob o potencial V(x)=B(x-a)^2, no tempo t=0.
a) Determine a constante de normalização A. (procure o resultado de integrais que precisar)
b) Determine B.
c) Determine a energia da partícula.
d) Determine a função de onda dessa partícula em um tempo t qualquer.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem, no tempo Psi(x,0)=A,e^-lambda(x-a)^2 , uma função de onda gaussiana
V(x)=B,(x-a)^2
para uma partícula de massa sujeita ao potencial
O conteúdo aqui é o oscilador harmônico quântico (estado fundamental), e o que vamos usar é:
  • A condição de normalização e a integral de Gauss.
  • A equação de Schrödinger estacionária para relacionar , e achar a energia.
  • A evolução temporal de estados estacionários, que só acrescenta uma fase .

Passo 2

Normalização de integral-infty^infty|Psi|^2,dx =integral-infty^infty|A|^2e^-2lambda(x-a)^2dx stackrel!=1 .
A condição é
integral-infty^inftye^-2lambda(x-a)^2dx =raizpi2lambda
Sabemos da integral de Gauss que
|A|^2raizpi2lambda=1 Longrightarrow A=l(2lambdapir)^1/4
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Passo 3

Determinando hat H=-hbar^22md^2dx^2+B,(x-a)^2, .
O hamiltoniano é
Psi''=A,e^-lambda(x-a)^2l(4lambda^2(x-a)^2-2lambdar)
e queremos que -hbar^22m,4lambda^2 + B = 0 Longrightarrow B=2hbar^2lambda^2m seja autovetor.
  1. Calcule :
  1. Na equação , os termos em têm que se anular, o que impõe

Passo 4

Determinando a energia E = -hbar^22m(-2lambda) =hbar^2lambdam .
Ainda na mesma equação de autovalor, o termo que sobra (o “constante”) é

Passo 5

Evolução temporal Psi(x,t)=Psi(x,0),e^-iEt/hbar = A,e^-lambda(x-a)^2,e^-ihbarlambdamt .
Para um estado estacionário, basta multiplicar por uma fase

Resposta

A gente termina com:
A=l(tfrac2lambdapir)^1/4, B=2hbar^2lambda^2m, E=hbar^2lambdam, Psi(x,t)=l(tfrac2lambdapir)^1/4 ,e^-lambda(x-a)^2, e^-ihbarlambdamt

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