Considere uma função de onda da forma
Psi(x, t)=A e^-lambda|x| e^-i omega t
onde A, lambda e omega são constantes positivas.
a) Normalize Psi.
b) Determine a média de x e x^2
c) Determine a variância de x, sigmax.
d) Qual a probabilidade da partícula ser encontrada entre (lang<= xrang<=-sigmax) e (lang<= xrang<=+sigmax) ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a função de onda é
Psi(x,t)=A,e^-lambda|x|,e^-iomega t
com . A gente precisa:
  1. Normalizar .
  2. Calcular e .
  3. A variância .
  4. A probabilidade de achar a partícula em .
Conteúdo: interpretação probabilística da função de onda, integrais de distribuições exponenciais e definição de momentos ( ), variância e probabilidade em mecânica quântica. Vamos usar integrais tipo .

Passo 2

Normalização: a condição é
integral-infty^infty|Psi(x,t)|^2,dx=1
Como |A|^2integral-infty^inftye^-2lambda|x|dx =|A|^2cdot2integral0^inftye^-2lambda xdx =|A|^2cdot2cdot12lambda =|A|^2lambda , temos
|A|^2lambda=1 longrightarrow A=raizlambda(escolhendo A>0)
Queremos isso igual a 1, então

Passo 3

Média de lang<= xrang<= =integral-infty^inftyPsi^*,x,Psi,dx =A^2integral-infty^inftyx,e^-2lambda|x|dx :
lang<= xrang<==0
Essa integral é zero porque o integrando é ímpar ( lang<= x^2rang<= =A^2integral-infty^inftyx^2,e^-2lambda|x|dx =2A^2integral0^inftyx^2e^-2lambda xdx ). Logo
lang<= x^2rang<= =2lambdacdot2(2lambda)^3 =4lambda8lambda^3 =12lambda^2
Média de :
Usamos , com :

Passo 4

Variância:
sigmax =raizlang<= x^2rang<= - lang<= xrang<=^2 =raiz12lambda^2-0 =1raiz2,lambda

Passo 5

Probabilidade de P =integral-sigmax^sigmax|Psi|^2dx =2A^2integral0^sigmaxe^-2lambda xdx =2lambdacdot1-e^-2lambdasigmax2lambda =1-e^-2lambdasigmax :
P=1-expl(-2lambdacdot1raiz2lambdar) =1-e^-raiz2
Substituindo :

Resposta

A)
B) ,
C)
D)

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