Suponha agora um modelo para descrever uma partícula instável, que se desintegra após certo tempo de vida. Dessa forma, a probabilidade de encontrarmos uma partícula em todo lugar não pode ser uma constante, mas deve decrescer com o tempo. Uma forma de modelar esse tipo de situação é considerar que o potencial na equação de Schrödinger tem uma parte imaginária, ou seja,
V=V0-i Gamma
onde V0 representa o potencial real e Gamma é uma constante real. Obviamente, se Gamma for nulo teremos conservação da probabilidade.
a) Mostre que se Gamma for não nulo, então
d Pd t=-2 Gammahbar P
considere que P é a probabilidade de encontrarmos a partícula entre -infty e e que a função de onda vai a zero nestes dois pontos.
b) Encontre a função P(t) que satisfaça a equação anterior.

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de uma partícula instável cuja “morte” é modelada por um potencial complexo
V(x)=V0(x)-i,Gamma,, Gamma>0,
O conteúdo é a equação de Schrödinger dependente do tempo com potencial imaginário, e a ideia é mostrar que a probabilidade total
P(t)=integral-infty^infty|psi(x,t)|^2,dx
sai da conservação e obedece
dPdt=-2GammahbarP,
Depois disso, é só resolver esse ODE para achar .

Passo 2

Vamos começar computando a derivada temporal de partialpartial t|psi|^2=psi^*,partialpsipartial t+psi,partialpsi^*partial t, :
ihbar,partialpsipartial t=-hbar^22mpsi''+Vpsi
Pela equação de Schrödinger
-ihbar,partialpsi^*partial t=-hbar^22mpsi^*,''+V^*,psi^*,,
e seu conjugado
partialpsipartial t=-ihbar(-tfrachbar^22mpsi''+Vpsi), partialpsi^*partial t=ihbar(-tfrachbar^22mpsi^*,''+V^*psi^*)
temos
$$\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar}\Big(-\tfrac{\hbar^2}{2m}\psi’’+V\psi\Big),\quad
\frac{\partial\psi^}{\partial t}=\frac{i}{\hbar}\Big(-\tfrac{\hbar2}{2m}\psi{,’’}+V*\psi\Big). \psi*\Big(-\tfrac{i}{\hbar}V\psi\Big)+\psi\Big(\tfrac{i}{\hbar}V\psi^*\Big)
=\frac{i}{\hbar}\big(V*-V\big)|\psi|2
=\frac{i}{\hbar}\big((V_0+i\Gamma)-(V_0-i\Gamma)\big)|\psi|^2
=-\frac{2\Gamma}{\hbar}|\psi|^2,. $$

Passo 3

Agora integramos de dPdt=integral-infty^inftypartialt|psi|^2,dx =integral-infty^infty(-partialx j-2Gammahbar|psi|^2),dx, a dPdt=-2Gammahbarintegral-infty^infty|psi|^2,dx=-2Gammahbar,P, :
$$\frac{dP}{dt}=\int_{-\infty}{\infty}\partial_t|\psi|2,dx
=\int_{-\infty}^{\infty}\Big(-\partial_x j-\frac{2\Gamma}{\hbar}|\psi|^2\Big),dx,. \frac{dP}{dt}=-\frac{2\Gamma}{\hbar}\int_{-\infty}{\infty}|\psi|2,dx=-\frac{2\Gamma}{\hbar},P,. $$

Passo 4

Temos então a equação simples
dPdt=-2Gammahbar,P,
Isso é um ODE do tipo P(t)=P(0),e^-,2Gammahbar,t, com . A solução geral é

Resposta

a) .
b) .

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