Suponha agora um modelo para descrever uma partícula instável, que se desintegra após certo tempo de vida. Dessa forma, a probabilidade de encontrarmos uma partícula em todo lugar não pode ser uma constante, mas deve decrescer com o tempo. Uma forma de modelar esse tipo de situação é considerar que o potencial na equação de Schrödinger tem uma parte imaginária, ou seja,
onde
representa o potencial real e
é uma constante real. Obviamente, se
for nulo teremos conservação da probabilidade.
a) Mostre que se
for não nulo, então
considere que
é a probabilidade de encontrarmos a partícula entre
e e que a função de onda vai a zero nestes dois pontos.
b) Encontre a função
que satisfaça a equação anterior.
a) Mostre que se
b) Encontre a função
Passo 1
Beleza, o enunciado fala de uma partícula instável cuja “morte” é modelada por um potencial complexo
O conteúdo é a equação de Schrödinger dependente do tempo com potencial imaginário, e a ideia é mostrar que a probabilidade total
sai da conservação e obedece
Depois disso, é só resolver esse ODE para achar
Passo 2
Vamos começar computando a derivada temporal de
:
Pela equação de Schrödinger
e seu conjugado
temos
$$\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar}\Big(-\tfrac{\hbar^2}{2m}\psi’’+V\psi\Big),\quad
\frac{\partial\psi^}{\partial t}=\frac{i}{\hbar}\Big(-\tfrac{\hbar2}{2m}\psi{,’’}+V*\psi\Big). \psi*\Big(-\tfrac{i}{\hbar}V\psi\Big)+\psi\Big(\tfrac{i}{\hbar}V\psi^*\Big)
=\frac{i}{\hbar}\big(V*-V\big)|\psi|2
=\frac{i}{\hbar}\big((V_0+i\Gamma)-(V_0-i\Gamma)\big)|\psi|^2
=\frac{i}{\hbar}\big((V_0+i\Gamma)-(V_0-i\Gamma)\big)|\psi|^2
=-\frac{2\Gamma}{\hbar}|\psi|^2,. $$
Passo 3
Agora integramos de
a
:
$$\frac{dP}{dt}=\int_{-\infty}{\infty}\partial_t|\psi|2,dx
=\int_{-\infty}^{\infty}\Big(-\partial_x j-\frac{2\Gamma}{\hbar}|\psi|^2\Big),dx,. \frac{dP}{dt}=-\frac{2\Gamma}{\hbar}\int_{-\infty}{\infty}|\psi|2,dx=-\frac{2\Gamma}{\hbar},P,. $$
Passo 4
Temos então a equação simples
Isso é um ODE do tipo
Resposta
a)
.
b) .
b)