Em um tempo t=0 uma partícula pode ser representada pela função de onda
Psi(x, 0)=l A xa, se 0 <= x <= a A(b-x)b-a, se a <= x <= b 0, se b <= x
Qual é a média de x(lang<= xrang<=) ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que, no instante Psi(x,0)= dfracA,xa, &0<= x<= a,[6pt] dfracA,(b-x),b-a,, &a<= x<= b,[6pt] 0,&x>= b , a partícula tem a função de onda
lang<= xrang<= = integral-infty^inftyPsi^*(x,0),x,Psi(x,0),dx
O que a gente quer é a média de , ou seja
Conteúdo: Mecânica Quântica básica (valor esperado e normalização de função de onda).
O que vamos precisar:
  1. Normalizar (achar usando ).
  2. Calcular como integral de .

Passo 2

Primeiro normalizar:
1=integral0^a!l(tfracA,xar)^2dx+integrala^b!l(tfracA,(b-x)b-ar)^2dx
Calcula cada pedaço:
  • De integral0^a A^2,x^2a^2,dx =A^2a^2,a^33 =A^2,a3 a integrala^bA^2,(b-x)^2(b-a)^2,dx =A^2(b-a)^2integralb-a^0u^2(-du) =A^2(b-a)^2integral0^,b-au^2du =A^2(b-a)^2,(b-a)^33 =A^2,(b-a)3 :
A^2,a3+A^2,(b-a)3 =A^23(a+b-a) =A^2,b3 ;overset!=;1 Longrightarrow A^2=3b
  • De a : faça , então e quando , quando :
Somando dá

Passo 3

Agora integral0^a xA^2,x^2a^2dx =A^2a^2integral0^a x^3dx =A^2a^2,a^44 =A^2,a^24
  1. De integrala^b x,A^2,(b-x)^2(b-a)^2dx =A^2(b-a)^2integral0^b-a(b-u)u^2du =A^2(b-a)^2l[b,(b-a)^33-(b-a)^44r] =A^2,(b-a)(b+3a)12 a lang<= xrang<= =A^2,a^24+A^2,(b-a)(b+3a)12 =A^2!l[a^24+(b-a)(b+3a)12r] :
  1. De a : de novo , :
Juntando:

Passo 4

Substitui lang<= xrang<= =3b,112l[3a^2+(b-a)(b+3a)r] =14bl[b^2+2abr] =b+2a4 e faz a simplificação (coloca tudo sobre 12):

Resposta

boxedlang<= xrang<= = b+2a4

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