Em um tempo
uma partícula pode ser representada pela função de onda
Qual é a média de
x(lang<= xrang<=) ?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que, no instante
Psi(x,0)= dfracA,xa, &0<= x<= a,[6pt] dfracA,(b-x),b-a,, &a<= x<= b,[6pt] 0,&x>= b , a partícula tem a função de onda
O que a gente quer é a média de
, ou seja
Conteúdo: Mecânica Quântica básica (valor esperado e normalização de função de onda).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Normalizar
(achar usando ). - Calcular
como integral de .
Passo 2
Primeiro normalizar:
Calcula cada pedaço:
- De
aintegral0^a A^2,x^2a^2,dx =A^2a^2,a^33 =A^2,a3 :integrala^bA^2,(b-x)^2(b-a)^2,dx =A^2(b-a)^2integralb-a^0u^2(-du) =A^2(b-a)^2integral0^,b-au^2du =A^2(b-a)^2,(b-a)^33 =A^2,(b-a)3
- De
a : faça , então e quando , quando :
Somando dá
Passo 3
Agora
integral0^a xA^2,x^2a^2dx =A^2a^2integral0^a x^3dx =A^2a^2,a^44 =A^2,a^24
- De
aintegrala^b x,A^2,(b-x)^2(b-a)^2dx =A^2(b-a)^2integral0^b-a(b-u)u^2du =A^2(b-a)^2l[b,(b-a)^33-(b-a)^44r] =A^2,(b-a)(b+3a)12 :lang<= xrang<= =A^2,a^24+A^2,(b-a)(b+3a)12 =A^2!l[a^24+(b-a)(b+3a)12r]
- De
a : de novo , :
Juntando:
Passo 4
Substitui
lang<= xrang<= =3b,112l[3a^2+(b-a)(b+3a)r] =14bl[b^2+2abr] =b+2a4 e faz a simplificação (coloca tudo sobre 12):