Considere uma distribuição de variáveis x_{i} com i=1,2,3, \ldots, n, onde cada valor de x_{i} é obtido com probabilidade \wp\left(x_{i}\right). Encontre a expressão analítica para:
(a) o terceiro momento (\Delta x)^{3}

Passo 1

Temos uma variável discreta x que assume valores x_i com probabilidade \wp(x_i), para i=1,2,\dots,n. Queremos o terceiro momento central, isto é, \bigl(\Delta x\bigr)^3, onde \Delta x = x - \langle x\rangle.

Passo 2

Primeiro definimos a média (ou valor esperado) de x:
\langle x\rangle = \sum_{i=1}^{n} \wp(x_i)\,x_i.
Em seguida, para cada valor x_i definimos o desvio em relação à média:
\Delta x_i = x_i - \langle x\rangle.

Passo 3

O terceiro momento central é o valor esperado de (\Delta x)^3. Pela definição de valor esperado, temos
\langle (\Delta x)^3 \rangle = \sum_{i=1}^{n} \wp(x_i)\,\bigl(\Delta x_i\bigr)^{3} = \sum_{i=1}^{n} \wp(x_i)\,\bigl(x_i - \langle x\rangle\bigr)^{3}.

Resposta

\langle (\Delta x)^3 \rangle = \sum_{i=1}^{n} \wp(x_i)\,\bigl(x_i - \langle x\rangle\bigr)^{3}.

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