Considere uma distribuição de variáveis x_{i} com i=1,2,3, \ldots, n, onde cada valor de x_{i} é obtido com probabilidade \wp\left(x_{i}\right). Encontre a expressão analítica para:
(b) o quarto momento (\Delta x)^{4}

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição discreta \{x_i\}_{i=1}^n com probabilidades \wp(x_i) e pede o quarto momento central, isto é, (\Delta x)^4. Vamos usar os conceitos de valor esperado e momento central para resolver.

Passo 2

Definimos a média (primeiro momento) como
\bar x = \sum_{i=1}^n x_i\,\wp(x_i).
O desvio em torno da média é X - \bar x, e o quarto momento central é a esperança de (X-\bar x)^4.

Passo 3

Por definição de valor esperado,
(\Delta x)^4 \;=\;\mathbb{E}\bigl[(X-\bar x)^4\bigr] \;=\;\sum_{i=1}^n \bigl(x_i - \bar x\bigr)^4\;\wp(x_i).

Passo 4

Para obter uma forma em termos de momentos “brutos” \langle x^k\rangle = \sum_i x_i^k\,\wp(x_i), expandimos binomialmente:
(x_i - \bar x)^4 = x_i^4 - 4\bar x\,x_i^3 + 6\bar x^2\,x_i^2 - 4\bar x^3\,x_i + \bar x^4.
Fazendo a soma ponderada e usando \langle x\rangle=\bar x, resulta
(\Delta x)^4 = \langle x^4\rangle - 4\,\bar x\,\langle x^3\rangle + 6\,\bar x^2\,\langle x^2\rangle -4\,\bar x^3\,\langle x\rangle + \bar x^4 = \langle x^4\rangle -4\,\langle x\rangle\,\langle x^3\rangle +6\,\langle x\rangle^2\,\langle x^2\rangle -3\,\langle x\rangle^4.

Resposta

(\Delta x)^4 = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^4 \,\wp(x_i) \;=\; \langle x^4\rangle -4\,\langle x\rangle\,\langle x^3\rangle +6\,\langle x\rangle^2\,\langle x^2\rangle -3\,\langle x\rangle^4.

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