Considere a seguinte expressão para a probabilidade de uma variável aleatória
onde
e
são constantes não negativas.
(a) Obtenha a constante de normalização
;
(b) Mostre que
(a) Obtenha a constante de normalização
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado define uma densidade de probabilidade para uma variável aleatória
dada por
onde
e
são constantes não negativas. Precisamos (i) achar
de modo que
seja normalizada e (ii) mostrar que a média
vale
. Vamos usar integração de funções exponenciais e, no segundo caso, integrar por partes.
Passo 2
Para determinar
impomos a condição de normalização:
Substituindo
,
Fazendo a mudança de variável
, temos
, então
Logo,
Passo 3
Com
, calculamos a média:
Para essa integral, usamos integração por partes, definindo
Então
e
Aplicando partes:
No limite
a expressão
vai a zero, e em
vale zero, então o primeiro termo some. O segundo termo já calculamos no passo anterior e deu
. Portanto
Resposta
(a)
(b)
(b)