Considere a seguinte expressão para a probabilidade de uma variável aleatória x \geq 0
\wp(x)=A e^{-\frac{x}{\ell}},
onde A e \ell são constantes não negativas.
(a) Obtenha a constante de normalização A;
(b) Mostre que
\bar{x}=\int_{0}^{\infty} x \wp(x) d x=\ell

Passo 1

O enunciado define uma densidade de probabilidade para uma variável aleatória x\ge0 dada por
\wp(x)=A\,e^{-\frac{x}{\ell}},
onde A e \ell são constantes não negativas. Precisamos (i) achar A de modo que \wp(x) seja normalizada e (ii) mostrar que a média
\bar{x} = \int_{0}^{\infty} x\,\wp(x)\,dx
vale \ell. Vamos usar integração de funções exponenciais e, no segundo caso, integrar por partes.

Passo 2

Para determinar A impomos a condição de normalização:
\int_{0}^{\infty}\wp(x)\,dx = 1.
Substituindo \wp(x),
\int_{0}^{\infty}A\,e^{-\frac{x}{\ell}}\,dx = A \int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x}{\ell}}\,dx = 1.
Fazendo a mudança de variável u = x/\ell, temos dx = \ell\,du, então
A \int_{0}^{\infty}e^{-u}\,\ell\,du = A\,\ell \int_{0}^{\infty}e^{-u}\,du = A\,\ell \cdot 1 = 1.
Logo,
A = \frac{1}{\ell}.

Passo 3

Com A=1/\ell, calculamos a média:
\bar{x} = \int_{0}^{\infty} x \,\wp(x)\,dx = \int_{0}^{\infty} x \,\frac{1}{\ell}\,e^{-\frac{x}{\ell}}\,dx.
Para essa integral, usamos integração por partes, definindo
u = x,\quad dv = \frac{1}{\ell}e^{-\frac{x}{\ell}}\,dx.
Então du = dx e
v = \int \frac{1}{\ell}e^{-\frac{x}{\ell}}\,dx = -\,e^{-\frac{x}{\ell}}.
Aplicando partes:
\bar{x} = \bigl.u\,v\bigr|_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du = \Bigl[-x\,e^{-\frac{x}{\ell}}\Bigr]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{x}{\ell}}\,dx.
No limite x\to\infty a expressão x\,e^{-x/\ell} vai a zero, e em x=0 vale zero, então o primeiro termo some. O segundo termo já calculamos no passo anterior e deu \ell. Portanto
\bar{x} = \ell.

Resposta

(a) A = \dfrac{1}{\ell}.
(b) \bar{x} = \ell.

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