Considere a seguinte distribuição de probabilidade
\wp(x, t)=\frac{\rho}{\sqrt{4 \pi D t}} e^{-\frac{x^{2}}{4 D t}}
onde \rho e D são constantes, t é o tempo e x identifica uma variável contínua. Mostre que \wp(x, t) obedece à equação da difusão
\frac{\partial \wp}{\partial t}=D \frac{\partial^{2} \wp}{\partial x^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade
\wp(x,t)=\frac{\rho}{\sqrt{4\pi D\,t}}\exp\!\Bigl(-\frac{x^{2}}{4D\,t}\Bigr)
e pede para verificar que ela satisfaz a equação da difusão
\frac{\partial\wp}{\partial t}=D\,\frac{\partial^{2}\wp}{\partial x^{2}}.
Para isso, vamos calcular separadamente \partial\wp/\partial t e \partial^{2}\wp/\partial x^{2} e comparar.

Passo 2

Calculamos \partial\wp/\partial t. Escrevendo
\wp(x,t)=\rho\,(4\pi D\,t)^{-\tfrac12}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{x^2}{4D\,t}\bigr),
temos duas dependências em t: no fator (4\pi D\,t)^{-1/2} e no expoente. Logo
\frac{\partial}{\partial t}\bigl((4\pi D\,t)^{-\tfrac12}\bigr) =-\frac{1}{2t}\,(4\pi D\,t)^{-\tfrac12},
\frac{\partial}{\partial t}\exp\!\bigl(-\tfrac{x^2}{4D\,t}\bigr) =\exp\!\bigl(-\tfrac{x^2}{4D\,t}\bigr)\,\frac{x^2}{4D\,t^2}.
Combinando,
\frac{\partial\wp}{\partial t} =\rho\,(4\pi D\,t)^{-\tfrac12}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{x^2}{4D\,t}\bigr) \Bigl(-\frac{1}{2t}+\frac{x^2}{4D\,t^2}\Bigr).

Passo 3

Agora calculamos \partial^2\wp/\partial x^2. Primeiro
\frac{\partial\wp}{\partial x} =\rho\,(4\pi D\,t)^{-\tfrac12} \frac{\partial}{\partial x}\exp\!\bigl(-\tfrac{x^2}{4D\,t}\bigr) =-\rho\,(4\pi D\,t)^{-\tfrac12}\,\frac{x}{2D\,t}\, \exp\!\bigl(-\tfrac{x^2}{4D\,t}\bigr).
Derivando de novo em x,
\frac{\partial^2\wp}{\partial x^2} =\rho\,(4\pi D\,t)^{-\tfrac12}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{x^2}{4D\,t}\bigr) \Bigl(-\frac{1}{2D\,t}+\frac{x^2}{4D^{2}\,t^2}\Bigr).

Passo 4

Multiplicando por D,
D\,\frac{\partial^2\wp}{\partial x^2} =\rho\,(4\pi D\,t)^{-\tfrac12}\,\exp\!\bigl(-\tfrac{x^2}{4D\,t}\bigr) \Bigl(-\frac{1}{2t}+\frac{x^2}{4D\,t^2}\Bigr),
que coincide exatamente com \partial\wp/\partial t obtido no Passo 2. Logo
\frac{\partial\wp}{\partial t} =D\,\frac{\partial^2\wp}{\partial x^2}.

Resposta

Verificamos que
\frac{\partial\wp}{\partial t} =D\,\frac{\partial^2\wp}{\partial x^2},
portanto \wp(x,t) satisfaz a equação da difusão.

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