Considere dois ciclos termodinâmicos reversíveis: um ciclo motor, que fornece potência, e um ciclo de refrigeração, cuja potência de acionamento é obtida integralmente do ciclo motor. As temperaturas das fontes quente e fria do ciclo motor são, respectivamente, 727^{\circ} \mathrm{C} e 27^{\circ} \mathrm{C}. A fonte quente do ciclo de refrigeração está a 27^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se que a taxa de calor absorvida da fonte quente no ciclo motor é \dot{Q}_{H, m}=800 \mathrm{~kJ} / \mathrm{min}, enquanto a taxa de calor rejeitada para a fonte quente no ciclo de refrigeração é \dot{Q}_{H, r}= 5040 \mathrm{~kJ} / \mathrm{min}. Nessas condições, determine a temperatura da fonte fria do ciclo de refrigeração, admitindo que ambos os ciclos são reversíveis.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a temperatura da fonte fria do ciclo de refrigeração (ou seja, a temperatura mais baixa do refrigerador).
Informações dadas (vou listar exatamente o que veio no enunciado, com unidades e depois converter para Kelvin):
\dot{Q}_{H,m}=800\\ \mathrm{kJ/min}
\dot{Q}_{H,r}=5040\\ \mathrm{kJ/min}
Temperaturas fornecidas em Celsius:
T_{H,m}=727^\circ\mathrm{C},\qquad T_{C,m}=27^\circ\mathrm{C},\qquad T_{H,r}=27^\circ\mathrm{C}.
Condição importante: ambos os ciclos são reversíveis e a potência que aciona o refrigerador vem integralmente do ciclo motor (ou seja, a potência de entrada do refrigerador é igual à potência de saída do motor).

Passo 2

Primeiro passo prático: transformar as temperaturas de Celsius para Kelvin (já que nas fórmulas termodinâmicas usamos Kelvin). Vou usar a conversão T(\mathrm{K})=T(^\circ\mathrm{C})+273 (o enunciado sugere esse arredondamento).
T_{H,m}=727+273=1000\\ \mathrm{K}
T_{C,m}=27+273=300\\ \mathrm{K}
T_{H,r}=27+273=300\\ \mathrm{K}

Passo 3

Agora a teoria necessária sobre o ciclo motor reversível (ciclo de Carnot): a eficiência térmica \eta de um ciclo reversível que opera entre uma fonte quente (T_H) e uma fria (T_C) é
\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H},
onde T_H e T_C são as temperaturas absolutas (Kelvin) da fonte quente e fria, respectivamente. Aqui T_H=T_{H,m} e T_C=T_{C,m}. Vou calcular \eta:
\eta = 1 - \frac{T_{C,m}}{T_{H,m}} = 1 - \frac{300}{1000} = 1 - 0{,}3 = 0{,}7.
Interpretação: o motor converte 70\% do calor absorvido em trabalho.

Passo 4

A potência (taxa de trabalho) entregue pelo motor é a eficiência vezes a taxa de calor absorvida:
\dot{W}_m = \eta\,\dot{Q}_{H,m}.
Substituindo números:
\dot{W}_m = 0{,}7 \times 800\\ \mathrm{kJ/min} = 560\\ \mathrm{kJ/min}.
Como todo o trabalho do motor alimenta o refrigerador, temos
\dot{W}_r=\dot{W}_m=560\\ \mathrm{kJ/min}.

Passo 5

Agora a teoria do refrigerador reversível (Carnot): o coeficiente de desempenho (COP, aqui chamo de \mathrm{COP}) do refrigerador é definido por
\mathrm{COP} = \frac{\dot{Q}_L}{\dot{W}},
onde \dot{Q}_L é a taxa de calor removida da fonte fria (o que queremos relacionar) e \dot{W} é a potência de entrada. Para um refrigerador reversível (Carnot) operando entre T_{L} (fonte fria) e T_H (fonte quente) vale a relação:
\mathrm{COP} = \frac{T_L}{T_H - T_L},
onde T_H é aqui T_{H,r}=300\\ \mathrm{K} e T_L é a temperatura absoluta da fonte fria do refrigerador (incógnita). Também vale a conservação de energia para o refrigerador:
\dot{Q}_{H,r} = \dot{Q}_L + \dot{W}_r.
Temos \dot{Q}_{H,r} e \dot{W}_r, então podemos obter \dot{Q}_L diretamente.

Passo 6

Calcular \dot{Q}_L a partir de \dot{Q}_{H,r} e \dot{W}_r:
\dot{Q}_L = \dot{Q}_{H,r} - \dot{W}_r = 5040 - 560 = 4480\\ \mathrm{kJ/min}.

Passo 7

Calcular o \mathrm{COP} do refrigerador usando definição \mathrm{COP}=\dot{Q}_L/\dot{W}_r:
\mathrm{COP} = \frac{4480}{560} = 8.
Interpretação: para cada unidade de trabalho fornecida, o refrigerador remove 8 unidades de calor da fonte fria.

Passo 8

Agora usar a relação de Carnot para ligar \mathrm{COP} com as temperaturas e resolver para T_L:
\mathrm{COP} = \frac{T_L}{T_H - T_L}.
Substituindo \mathrm{COP}=8 e T_H=300\\ \mathrm{K}:
8 = \frac{T_L}{300 - T_L}.
Resolver algebricamente:
8(300 - T_L) = T_L
2400 - 8T_L = T_L
2400 = 9T_L
T_L = \frac{2400}{9}\\ \mathrm{K}.
Converter para Celsius:
T_{L}(^\circ\mathrm{C}) = T_L(\mathrm{K}) - 273 = \frac{2400}{9} - 273 = -\frac{19}{3}\\ ^\circ\mathrm{C}.
Em valor decimal aproximado:
T_{L}\approx -6{,}33^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Pequena interpretação final e incentivo: o resultado indica que a fonte fria do refrigerador está alguns graus abaixo de zero Celsius, o que é perfeitamente possível. Conseguiu! Você usou as fórmulas básicas de ciclos reversíveis, fez a conversão de temperaturas e usou balanço de energia — procedimento típico em provas.

Resposta

-\tfrac{19}{3}^\circ\mathrm{C}\approx -6{,}33^\circ\mathrm{C}

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