(***) Duas máquinas térmicas diferentes operam entre os mesmos dois reservatórios de temperatura
e
. A Máquina A é uma máquina de Carnot ideal, enquanto a Máquina B é uma máquina real irreversível, ambas absorvendo a mesma quantidade de calor
do reservatório quente. Suponha que, de alguma forma, a Máquina B conseguisse realizar mais trabalho do que a Máquina de Carnot A. Explique, com base nos princípios da segunda lei da termodinâmica e no conceito de entropia, por que essa situação é impossível.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma explicação do porquê da situação ser impossível:
- Existem dois reservatórios térmicos com temperaturas
(quente) e (frio), com . - Duas máquinas térmicas operam entre esses mesmos dois reservatórios.
- A Máquina A é uma máquina de Carnot ideal (reversível).
- A Máquina B é uma máquina real irreversível.
- Ambas absorvem a mesma quantidade de calor do reservatório quente, que chamamos de
. - Supõe-se (para hipótese) que a Máquina B consiga produzir mais trabalho que a Máquina A, isto é,
. - O enunciado pede que eu explique, com base na segunda lei da termodinâmica e no conceito de entropia, por que essa situação (
) é impossível.
Passo 2
Vamos organizar as definições e conceitos que vamos usar (aqui eu explico o que significa cada coisa, devagarzinho, como um amigo):
- Eficiência de uma máquina térmica: a eficiência
é a fração do calor absorvido que vira trabalho. Definição:
onde
é o trabalho produzido e
é o calor absorvido do reservatório quente.
- Para a máquina de Carnot (reversível) entre
e a eficiência máxima é dada por
Explico de onde vem isso no próximo passo.
- Entropia de um reservatório quando recebe ou perde calor de forma reversível: a variação de entropia do reservatório que cede/recebe um calor
a temperatura (em processo reversível) é
Aqui
se o reservatório ganha calor,
se perde calor.
- Segunda lei (versão entropia): para qualquer processo real, a variação da entropia total do universo (reservatórios + máquina etc.) satisfaz
sendo igualdade somente para processos reversíveis. Para uma máquina térmica cíclica, a máquina volta ao estado inicial, então só os reservatórios contribuem para
.
Passo 3
Calcular o trabalho produzido pela Máquina A (Carnot) quando ela absorve
. Vou mostrar esse cálculo passo a passo usando entropia (isso também explica a fórmula da eficiência de Carnot).
- A Máquina A é reversível, e absorve
do reservatório quente e rejeita ao reservatório frio. Como é cíclica, o trabalho é
- Porque o processo é reversível, a entropia total não muda. As variações de entropia dos reservatórios são:
Reversibilidade implica
. Logo
- Daí obtemos
- Substituindo em
obtemos
Isto mostra que a eficiência da Carnot é
e que, para dado
, o trabalho máximo alcançável por uma máquina reversível é
acima.
Passo 4
Agora faça o mesmo raciocínio para a Máquina B (irreversível) e use a segunda lei para comparar os trabalhos.
- A Máquina B absorve o mesmo
do reservatório quente, produz trabalho e rejeita ao reservatório frio. Então
- A diferença crucial: como a Máquina B é irreversível, a entropia total aumenta estritamente:
- Da desigualdade acima isolamos
:
- Agora calculamos
:
- Conclusão direta: qualquer máquina irreversível que opere entre os mesmos reservatórios e absorva o mesmo
produz menos trabalho do que a máquina de Carnot reversível. Portanto a hipótese contradiz a segunda lei/entropia — é impossível.
Passo 5
Vou dar uma outra explicação por contradição, que é útil para ter intuição e que costuma aparecer em provas: se B produzisse mais trabalho que Carnot, poderíamos violar a segunda lei de forma explícita.
-
Suponha
. Rode a Máquina B normalmente e use parte do trabalho gerado para acionar a Máquina A em modo reverso (ou seja, transforme a Máquina A em refrigerador), que exige exatamente para transferir do reservatório frio para o quente (essa igualdade vem do passo 3). -
Combinando B (para frente) e A (reversa) escolhendo os mesmos
notamos: - O calor líquido trocado com o reservatório quente é
absorvido por B mais fornecido pela A reversa, que se cancelam: neto zero com o reservatório quente. - O trabalho líquido entregue ao exterior é
. - O calor líquido do reservatório frio é
. Como implica , temos : ou seja, calor é retirado do reservatório frio.
- O calor líquido trocado com o reservatório quente é
-
O efeito combinado é: retirar calor de um único reservatório frio e convertê-lo inteiramente em trabalho
, sem qualquer outra mudança nos reservatórios. Isso é exatamente a proibição de Kelvin-Planck (não é possível converter integralmente calor de um único reservatório em trabalho sem outros efeitos). Portanto chegamos a uma contradição com a segunda lei. Logo a hipótese é impossível.
Passo 6
Intuição física e conclusão amigável:
- Entropia mede a “perda de potencial” para converter calor em trabalho: processos irreversíveis geram entropia (dissipação por atrito, irreversibilidade, resistência), e essa entropia extra significa que mais calor acaba no reservatório frio em vez de virar trabalho. Por isso uma máquina real nunca supera a Carnot que é idealmente reversível.
- Se você estiver nervoso na prova, lembre: sempre que ver “Carnot” pense em “melhor caso possível” e quando ver “irreversível” pense em “gera entropia > 0” — e daí vem a desigualdade que garante
.
Resposta
Impossível — a segunda lei (na forma de desigualdade de entropia) dá
logo
contradizendo
. Portanto B não pode produzir mais trabalho que a máquina de Carnot.