(***) Duas máquinas térmicas diferentes operam entre os mesmos dois reservatórios de temperatura T_{H} e T_{C}\left(T_{H}>T_{C}\right). A Máquina A é uma máquina de Carnot ideal, enquanto a Máquina B é uma máquina real irreversível, ambas absorvendo a mesma quantidade de calor Q_{H} do reservatório quente. Suponha que, de alguma forma, a Máquina B conseguisse realizar mais trabalho do que a Máquina de Carnot A. Explique, com base nos princípios da segunda lei da termodinâmica e no conceito de entropia, por que essa situação é impossível.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma explicação do porquê da situação ser impossível:
  • Existem dois reservatórios térmicos com temperaturas T_{H} (quente) e T_{C} (frio), com T_{H}>T_{C}.
  • Duas máquinas térmicas operam entre esses mesmos dois reservatórios.
  • A Máquina A é uma máquina de Carnot ideal (reversível).
  • A Máquina B é uma máquina real irreversível.
  • Ambas absorvem a mesma quantidade de calor do reservatório quente, que chamamos de Q_{H}.
  • Supõe-se (para hipótese) que a Máquina B consiga produzir mais trabalho que a Máquina A, isto é, W_{B}>W_{A}.
  • O enunciado pede que eu explique, com base na segunda lei da termodinâmica e no conceito de entropia, por que essa situação ( W_{B}>W_{A} ) é impossível.

Passo 2

Vamos organizar as definições e conceitos que vamos usar (aqui eu explico o que significa cada coisa, devagarzinho, como um amigo):
  • Eficiência de uma máquina térmica: a eficiência \eta é a fração do calor absorvido que vira trabalho. Definição:
\eta=\frac{W}{Q_{H}},
onde W é o trabalho produzido e Q_{H} é o calor absorvido do reservatório quente.
  • Para a máquina de Carnot (reversível) entre T_{H} e T_{C} a eficiência máxima é dada por
\eta_{\text{Carnot}}=1-\frac{T_{C}}{T_{H}}.
Explico de onde vem isso no próximo passo.
  • Entropia de um reservatório quando recebe ou perde calor de forma reversível: a variação de entropia do reservatório que cede/recebe um calor Q a temperatura T (em processo reversível) é
\Delta S=\frac{Q}{T}.
Aqui Q>0 se o reservatório ganha calor, Q<0 se perde calor.
  • Segunda lei (versão entropia): para qualquer processo real, a variação da entropia total do universo (reservatórios + máquina etc.) satisfaz
\Delta S_{\text{total}}\ge 0,
sendo igualdade somente para processos reversíveis. Para uma máquina térmica cíclica, a máquina volta ao estado inicial, então só os reservatórios contribuem para \Delta S_{\text{total}}.

Passo 3

Calcular o trabalho produzido pela Máquina A (Carnot) quando ela absorve Q_{H}. Vou mostrar esse cálculo passo a passo usando entropia (isso também explica a fórmula da eficiência de Carnot).
  • A Máquina A é reversível, e absorve Q_{H} do reservatório quente e rejeita Q_{C}^{A} ao reservatório frio. Como é cíclica, o trabalho é
W_{A}=Q_{H}-Q_{C}^{A}.
  • Porque o processo é reversível, a entropia total não muda. As variações de entropia dos reservatórios são:
\Delta S_{H}=-\frac{Q_{H}}{T_{H}}\quad\text{(o reservatório quente perde \(Q_{H}\))},ó
\Delta S_{C}=+\frac{Q_{C}^{A}}{T_{C}}\quad\text{(o reservatório frio ganha \(Q_{C}^{A}\))}.ó
Reversibilidade implica \Delta S_{H}+\Delta S_{C}=0. Logo
-\frac{Q_{H}}{T_{H}}+\frac{Q_{C}^{A}}{T_{C}}=0.
  • Daí obtemos
Q_{C}^{A}=Q_{H}\frac{T_{C}}{T_{H}}.
  • Substituindo em W_{A}=Q_{H}-Q_{C}^{A} obtemos
W_{A}=Q_{H}-Q_{H}\frac{T_{C}}{T_{H}}=Q_{H}\left(1-\frac{T_{C}}{T_{H}}\right).
Isto mostra que a eficiência da Carnot é \eta_{\text{Carnot}}=1-\dfrac{T_{C}}{T_{H}} e que, para dado Q_{H}, o trabalho máximo alcançável por uma máquina reversível é W_{A} acima.

Passo 4

Agora faça o mesmo raciocínio para a Máquina B (irreversível) e use a segunda lei para comparar os trabalhos.
  • A Máquina B absorve o mesmo Q_{H} do reservatório quente, produz trabalho W_{B} e rejeita Q_{C}^{B} ao reservatório frio. Então
W_{B}=Q_{H}-Q_{C}^{B}.
  • A diferença crucial: como a Máquina B é irreversível, a entropia total aumenta estritamente:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{H}+\Delta S_{C}=-\frac{Q_{H}}{T_{H}}+\frac{Q_{C}^{B}}{T_{C}}>0.
  • Da desigualdade acima isolamos Q_{C}^{B}:
-\frac{Q_{H}}{T_{H}}+\frac{Q_{C}^{B}}{T_{C}}>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{Q_{C}^{B}}{T_{C}}>\frac{Q_{H}}{T_{H}} \quad\Longrightarrow\quad Q_{C}^{B}>Q_{H}\frac{T_{C}}{T_{H}}.
  • Agora calculamos W_{B}:
W_{B}=Q_{H}-Q_{C}^{B}<Q_{H}-Q_{H}\frac{T_{C}}{T_{H}}=Q_{H}\left(1-\frac{T_{C}}{T_{H}}\right)=W_{A}.
  • Conclusão direta: qualquer máquina irreversível que opere entre os mesmos reservatórios e absorva o mesmo Q_{H} produz menos trabalho do que a máquina de Carnot reversível. Portanto a hipótese W_{B}>W_{A} contradiz a segunda lei/entropia — é impossível.

Passo 5

Vou dar uma outra explicação por contradição, que é útil para ter intuição e que costuma aparecer em provas: se B produzisse mais trabalho que Carnot, poderíamos violar a segunda lei de forma explícita.
  • Suponha W_{B}>W_{A}. Rode a Máquina B normalmente e use parte do trabalho gerado W_{A} para acionar a Máquina A em modo reverso (ou seja, transforme a Máquina A em refrigerador), que exige exatamente W_{A} para transferir Q_{C}^{A}=Q_{H}T_{C}/T_{H} do reservatório frio para o quente (essa igualdade vem do passo 3).
  • Combinando B (para frente) e A (reversa) escolhendo os mesmos Q_{H} notamos:
    • O calor líquido trocado com o reservatório quente é Q_{H} absorvido por B mais Q_{H} fornecido pela A reversa, que se cancelam: neto zero com o reservatório quente.
    • O trabalho líquido entregue ao exterior é W_{B}-W_{A}>0.
    • O calor líquido do reservatório frio é Q_{C}^{B}-Q_{C}^{A}. Como W_{B}>W_{A} implica Q_{C}^{B}=Q_{H}-W_{B}<Q_{H}-W_{A}=Q_{C}^{A}, temos Q_{C}^{B}-Q_{C}^{A}<0: ou seja, calor é retirado do reservatório frio.
  • O efeito combinado é: retirar calor de um único reservatório frio e convertê-lo inteiramente em trabalho W_{B}-W_{A}, sem qualquer outra mudança nos reservatórios. Isso é exatamente a proibição de Kelvin-Planck (não é possível converter integralmente calor de um único reservatório em trabalho sem outros efeitos). Portanto chegamos a uma contradição com a segunda lei. Logo a hipótese é impossível.

Passo 6

Intuição física e conclusão amigável:
  • Entropia mede a “perda de potencial” para converter calor em trabalho: processos irreversíveis geram entropia (dissipação por atrito, irreversibilidade, resistência), e essa entropia extra significa que mais calor acaba no reservatório frio em vez de virar trabalho. Por isso uma máquina real nunca supera a Carnot que é idealmente reversível.
  • Se você estiver nervoso na prova, lembre: sempre que ver “Carnot” pense em “melhor caso possível” e quando ver “irreversível” pense em “gera entropia > 0” — e daí vem a desigualdade que garante W_{B}<W_{A}.

Resposta

Impossível — a segunda lei (na forma de desigualdade de entropia) dá
-\frac{Q_{H}}{T_{H}}+\frac{Q_{C}^{B}}{T_{C}}>0\implies Q_{C}^{B}>Q_{H}\frac{T_{C}}{T_{H}},
logo
W_{B}=Q_{H}-Q_{C}^{B}<Q_{H}\Bigl(1-\frac{T_{C}}{T_{H}}\Bigr)=W_{A},
contradizendo W_{B}>W_{A}. Portanto B não pode produzir mais trabalho que a máquina de Carnot.

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