Suponha que haja uma taxa de entrada de energia de 50 W através do isolamento de um refrigerador, que mantemos a 3^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a mínima potência elétrica necessária para
remover continuamente essa entrada de energia, mantendo a temperatura baixa? Nesse caso, qual é a taxa que o refrigerador despeja energia no ambiente? A temperatura ambiente é 20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informações dadas:
    • Taxa de entrada de energia no interior do refrigerador: \;50\\ \mathrm{W} (isto é o calor que entra pelo isolamento).
    • Temperatura interna mantida: \;3^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura ambiente (onde o refrigerador despeja calor): \;20^\circ\mathrm{C}.
  • Perguntas pedidas:
    1. Qual é a mínima potência elétrica necessária para remover continuamente essa entrada de energia e manter a temperatura baixa?
    2. Qual é a taxa que o refrigerador despeja energia no ambiente (ou seja, potência térmica liberada para o ambiente)?

Passo 2

Vamos entender qual conceito físico usar (de forma bem didática): um refrigerador transfere calor do compartimento frio para o ambiente quente consumindo trabalho elétrico. A melhor eficiência possível (limite teórico) é a de um ciclo reversível ideal (ciclo de Carnot). A medida de eficiência de um refrigerador é o coeficiente de desempenho (COP), definido como a razão entre o calor removido do interior frio e o trabalho fornecido:
\text{COP} = \frac{Q_L}{W}
onde:
  • Q_L é a taxa de calor retirada do reservatório frio (aqui \;50\\ \mathrm{W});
  • W é a potência elétrica (trabalho por unidade de tempo) que precisamos fornecer.
O máximo possível para \text{COP} (quando o ciclo é reversível) é dado pela expressão de Carnot (lembre: temperaturas sempre em Kelvin):
\text{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{T_L}{T_H - T_L}
onde:
  • T_L é a temperatura absoluta do interior (em Kelvin);
  • T_H é a temperatura absoluta do ambiente (em Kelvin).
Vou agora derivar rapidamente essa expressão de modo que você entenda de onde vem: para um ciclo reversível, a entropia trocada é nula, então
\frac{Q_L}{T_L} = \frac{Q_H}{T_H},
onde Q_H é o calor rejeitado ao ambiente. Pela conservação de energia (primeira lei),
W = Q_H - Q_L.
Juntando as duas equações, isolamos W em função de Q_L:
Q_H = Q_L \frac{T_H}{T_L},
W = Q_H - Q_L = Q_L\left(\frac{T_H}{T_L}-1\right) = Q_L\frac{T_H-T_L}{T_L}.
Então
\text{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{Q_L}{W} = \frac{Q_L}{Q_L\frac{T_H-T_L}{T_L}}=\frac{T_L}{T_H-T_L}.
Essa \text{COP}_{\text{Carnot}} é o limite superior; nenhum refrigerador real pode ter COP maior que isso.

Passo 3

Converter temperaturas para Kelvin (passo obrigatório sempre que usar fórmulas térmicas):
T_L = 3^\circ\mathrm{C} = 3 + 273{,}15 = 276{,}15\\ \mathrm{K},
T_H = 20^\circ\mathrm{C} = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular \text{COP}_{\text{Carnot}} usando a fórmula:
\text{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{T_L}{T_H - T_L} = \frac{276{,}15}{293{,}15 - 276{,}15} = \frac{276{,}15}{17}.
Agora fazemos a divisão de maneira que dê para fazer de cabeça ou no papel (sem calculadora): note que 17 \times 16 = 272. Então
\frac{276{,}15}{17} \approx 16 + \frac{276{,}15-272}{17} = 16 + \frac{4{,}15}{17}.
Calcule \frac{4{,}15}{17}: 17 \times 0{,}24 = 4{,}08 e 17 \times 0{,}244 \approx 4{,}148, então
\frac{4{,}15}{17} \approx 0{,}244.
Portanto
\text{COP}_{\text{Carnot}} \approx 16{,}244 \quad\text{(arredondando, podemos usar }16{,}24\text{)}.

Passo 5

Agora calculamos a mínima potência elétrica W_{\min} necessária, usando
W_{\min} = \frac{Q_L}{\text{COP}_{\text{Carnot}}}.
Substituindo Q_L = 50\\ \mathrm{W} e \text{COP}_{\text{Carnot}}\approx 16{,}244:
W_{\min} \approx \frac{50}{16{,}244}.
Para fazer essa divisão sem calculadora: calcule o inverso aproximado de 16{,}244. Observando que 1/16 \approx 0{,}0625 e 1/16{,}244 será um pouco menor, aproximadamente 0{,}0616. Então
W_{\min} \approx 50 \times 0{,}0616 \approx 3{,}08\\ \mathrm{W}.
Assim a potência elétrica mínima (no limite reversível ideal) é cerca de \;3{,}08\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Calcular a taxa de energia que o refrigerador despeja no ambiente, Q_H. Pela conservação de energia:
Q_H = Q_L + W.
Usando Q_L = 50\\ \mathrm{W} e W_{\min}\approx 3{,}08\\ \mathrm{W}:
Q_H \approx 50 + 3{,}08 = 53{,}08\\ \mathrm{W}.
Alternativa (verificação via relação de entropia): de Q_H = Q_L \dfrac{T_H}{T_L} temos
Q_H \approx 50 \times \frac{293{,}15}{276{,}15} \approx 50 \times 1{,}0616 \approx 53{,}08\\ \mathrm{W},
o que confirma o valor anterior.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o resultado mostra que, no melhor caso teórico, só precisamos de uma potência elétrica muito pequena (≈ \;3{,}08\\ \mathrm{W}) para retirar \;50\\ \mathrm{W} de calor de dentro — isso é porque a diferença de temperatura é pequena ( 20^\circ\mathrm{C} vs 3^\circ\mathrm{C}), o que torna o COP grande. Na prática, refrigeradores reais têm perdas e COP menor que o ideal, então precisarão de mais potência do que esse valor mínimo. Mas para a prova, esse raciocínio com o ciclo de Carnot e balanço de energia é o caminho certo.

Resposta

Potência elétrica mínima: 3,08\\ \mathrm{W}
Taxa de energia despejada no ambiente: 53,08\\ \mathrm{W}

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