Considere dois cilindros concêntricos: o cilindro interno possui raio a e o externo possui raio b. Os cilindros possuem comprimento igual a L. Determine:
A capacitância por unidade de comprimento do sistema considerando a ausência de material entre os cilindros.

Passo 1

Beleza, então o problema é o seguinte: a gente tem dois cilindros concêntricos (um dentro do outro), o interno de raio e o externo de raio , ambos com comprimento . Queremos achar a capacitância por unidade de comprimento desse “capacitor cilíndrico” quando não tem nenhum material isolante dentro (ou seja, vácuo ou ar).
Conteúdo que vamos usar: eletrostática básica—Lei de Gauss para achar o campo elétrico entre os cilindros, depois cálculo de diferença de potencial integrando esse campo, e por fim a definição de capacitância (no nosso caso, por unidade de comprimento: ).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o campo elétrico Phi = oint Ecdot dA = E(r),(2pi r L) = Qdentrovarepsilon0 numa distância E(r),(2pi r L) = lambda Lvarepsilon0 Longrightarrow E(r) = lambda2pivarepsilon0,r do eixo, com .
Teoria: pela Lei de Gauss, o fluxo do campo elétrico através de uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento é igual à carga total dentro dela dividida por :
Se chamarmos de a carga por unidade de comprimento no cilindro interno (ou seja, ), fica

Passo 3

Agora queremos a diferença de potencial entre os dois cilindros, V = -integrala^b E(r),dr = -integrala^b lambda2pivarepsilon0,r,dr = -lambda2pivarepsilon0l[ln rr]a^b = lambda2pivarepsilon0,lnba .
Teoria: a diferença de potencial é . Como é radial e aponta pra fora, , então
(O sinal ficou positivo porque .)

Passo 4

Por definição de capacitância por unidade de comprimento, a gente põe
C' = lambdaV = lambdalambda2pivarepsilon0lnba = 2pivarepsilon0ln!l(tfracbar)

Resposta

A capacitância por unidade de comprimento do sistema cilíndrico em vácuo é
boxedC' = 2pivarepsilon0ln!l(tfracbar)

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