Considere dois cilindros concêntricos: o cilindro interno possui raio
e o externo possui raio
. Os cilindros possuem comprimento igual a
. Determine:
A capacitância por unidade de comprimento do sistema considerando a ausência de material entre os cilindros.
A capacitância por unidade de comprimento do sistema considerando a ausência de material entre os cilindros.
Passo 1
Beleza, então o problema é o seguinte: a gente tem dois cilindros concêntricos (um dentro do outro), o interno de raio
e o externo de raio
, ambos com comprimento
. Queremos achar a capacitância por unidade de comprimento desse “capacitor cilíndrico” quando não tem nenhum material isolante dentro (ou seja, vácuo ou ar).
Conteúdo que vamos usar: eletrostática básica—Lei de Gauss para achar o campo elétrico entre os cilindros, depois cálculo de diferença de potencial integrando esse campo, e por fim a definição de capacitância (no nosso caso, por unidade de comprimento:
).
Conteúdo que vamos usar: eletrostática básica—Lei de Gauss para achar o campo elétrico entre os cilindros, depois cálculo de diferença de potencial integrando esse campo, e por fim a definição de capacitância
Passo 2
Primeiro, vamos achar o campo elétrico
numa distância
do eixo, com
.
Teoria: pela Lei de Gauss, o fluxo do campo elétrico através de uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento
é igual à carga total dentro dela dividida por
:
Teoria: pela Lei de Gauss, o fluxo do campo elétrico através de uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
Se chamarmos de
a carga por unidade de comprimento no cilindro interno (ou seja,
), fica
Passo 3
Agora queremos a diferença de potencial entre os dois cilindros,
.
Teoria: a diferença de potencial é . Como
é radial e aponta pra fora,
, então
Teoria: a diferença de potencial é
(O sinal ficou positivo porque
.)
Passo 4
Por definição de capacitância por unidade de comprimento, a gente põe
Resposta
A capacitância por unidade de comprimento do sistema cilíndrico em vácuo é