Considere dois cilindros concêntricos: o cilindro interno possui raio
e o externo possui raio
. Os cilindros possuem comprimento igual a
. Determine:
A carga por unidade de comprimento do cilindro interno, também considerando a presença do dielétrico.
A carga por unidade de comprimento do cilindro interno, também considerando a presença do dielétrico.
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos dois cilindros concêntricos de comprimento
. O cilindro interno tem raio
e o externo, raio
. Entre eles há um dielétrico com constante elétrica
. A pergunta é: qual é a carga livre por unidade de comprimento
que fica no cilindro interno, sabendo que aplicamos uma diferença de potencial
entre o interno (a quem chamamos de ponto zero de potencial) e o externo (potencial
)?
Conteúdo que vamos usar: lei de Gauss para dielétricos (campo de deslocamento ), relação entre
e
num dielétrico, e integração do campo para achar a diferença de potencial.
Conteúdo que vamos usar: lei de Gauss para dielétricos (campo de deslocamento
Passo 2
Primeiro a gente lembra a forma da lei de Gauss para dielétrico na forma integral:
Como o problema tem simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
(com
) e comprimento
. O campo
será só na direção radial (isto é,
) e constante em cada raio fixo. A área lateral do cilindro gaussiano vale
. Então
Como “dentro” do nosso cilindro só está a carga livre do cilindro interno, chamamos isso de
, com
carga por comprimento. Logo
Passo 3
No dielétrico a relação entre
e o campo elétrico
é
Então
Esse
aponta radialmente para fora, mas o sinal da carga a gente cuida depois.
Passo 4
O próximo passo é relacionar esse
com a diferença de potencial
. Lembra que
Fazendo a integral
Passo 5
Agora é só isolar
:
Resposta
A carga livre por unidade de comprimento do cilindro interno é
Onde
é a constante dielétrica do material entre os cilindros.