Considere dois cilindros concêntricos: o cilindro interno possui raio a e o externo possui raio b. Os cilindros possuem comprimento igual a L. Determine:
A carga por unidade de comprimento do cilindro interno, também considerando a presença do dielétrico.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos dois cilindros concêntricos de comprimento . O cilindro interno tem raio e o externo, raio . Entre eles há um dielétrico com constante elétrica . A pergunta é: qual é a carga livre por unidade de comprimento que fica no cilindro interno, sabendo que aplicamos uma diferença de potencial entre o interno (a quem chamamos de ponto zero de potencial) e o externo (potencial )?
Conteúdo que vamos usar: lei de Gauss para dielétricos (campo de deslocamento ), relação entre e num dielétrico, e integração do campo para achar a diferença de potencial.

Passo 2

Primeiro a gente lembra a forma da lei de Gauss para dielétrico na forma integral:
oint Dcdot dA = Qlivre, dentro
Como o problema tem simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio D(rho),2pi,rho,L = Qlivre total dentro (com D(rho),2pi,rho,L = lambda,L Longrightarrow D(rho) = lambda2pi,rho ) e comprimento . O campo será só na direção radial (isto é, ) e constante em cada raio fixo. A área lateral do cilindro gaussiano vale . Então
Como “dentro” do nosso cilindro só está a carga livre do cilindro interno, chamamos isso de , com carga por comprimento. Logo

Passo 3

No dielétrico a relação entre D = varepsilon,E com varepsilon = kappa,varepsilon0 e o campo elétrico E(rho) = D(rho)varepsilon = lambda2pi,rho,kappavarepsilon0 é
Então
Esse aponta radialmente para fora, mas o sinal da carga a gente cuida depois.

Passo 4

O próximo passo é relacionar esse V = integralinterna^externa Ecdot dl = integrala^b E(rho),drho = integrala^b lambda2pi,kappavarepsilon0,1rho,drho com a diferença de potencial V = lambda2pi,kappavarepsilon0,l[ln(rho)r]a^b = lambda2pi,kappavarepsilon0,ln!l(bar) . Lembra que
Fazendo a integral

Passo 5

Agora é só isolar lambda = 2pi,kappavarepsilon0,Vln!l(tfracbar) :

Resposta

A carga livre por unidade de comprimento do cilindro interno é
boxedlambda = 2pi,kappa,varepsilon0,Vlnl(b/ar)
Onde é a constante dielétrica do material entre os cilindros.

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