6 Considere dois circuitos de corrente interagentes, caracterizados pelas indutâncias L_{1}=\beta I_{1}^{\delta}, M_{12}=M_{21}=\beta I_{1}^{S / 2} I_{1}^{S / 2} e L_{2}=\beta I_{2}^{S}, onde \beta e s são constantes. Trata-se de um sistema magnético reversível porém não linear. Calcule a energia magnética do sistema em termos das correntes finais I_{1} e I_{2}. Faça isto de duas maneiras: primeiro, trazendo as correntes a seus valores finais, em concordância; segundo, mantendo I_{2}^{\prime}=0 enquanto I_{1}^{\prime} é levado a seu valor final, variando então, I_{2}^{\prime}.

Passo 1

O enunciado descreve dois enrolamentos magneticamente acoplados, com indutâncias não lineares \;L_{1}=\beta I_{1}^{\delta}, \;L_{2}=\beta I_{2}^{s}
e mútuo \;M_{12}=M_{21}=\beta I_{1}^{s/2}I_{2}^{s/2}.
Queremos calcular a energia magnética W_{m} até as correntes finais I_{1},I_{2}. Como o sistema é reversível, o resultado não depende do caminho, mas faremos dois:
  1. crescer I_{1} e I_{2} simultaneamente com I_{k}(t)=t\,I_{k}, 0\le t\le1;
  2. primeiro levar I_{1} de 0 a I_{1} com I_{2}=0, depois levar I_{2} de 0 a I_{2} com I_{1} fixo.

Passo 2

Precisamos das ligações de fluxo em cada enrolamento:
\psi_{1}=L_{1}(I_{1})\,I_{1}+M_{12}(I_{1},I_{2})\,I_{2} =\beta I_{1}^{\delta}I_{1}+\beta I_{1}^{\tfrac{s}{2}}I_{2}^{\tfrac{s}{2}}I_{2} =\beta I_{1}^{1+\delta}+\beta I_{1}^{\tfrac{s}{2}}I_{2}^{1+\tfrac{s}{2}}
\psi_{2}=M_{21}(I_{1},I_{2})\,I_{1}+L_{2}(I_{2})\,I_{2} =\beta I_{1}^{\tfrac{s}{2}}I_{2}^{\tfrac{s}{2}}I_{1}+\beta I_{2}^{s}I_{2} =\beta I_{1}^{1+\tfrac{s}{2}}I_{2}^{\tfrac{s}{2}}+\beta I_{2}^{1+s}
A energia magnética é
W_{m}=\int_{\text{caminho}}\bigl(\psi_{1}\,dI_{1}+\psi_{2}\,dI_{2}\bigr).

Passo 3

Caminho simultâneo I_{1}(t)=tI_{1},\,I_{2}(t)=tI_{2}. Então \,dI_{1}=I_{1}\,dt,\;dI_{2}=I_{2}\,dt e
\psi_{1}(t)=\beta t^{1+\delta}I_{1}^{1+\delta}+\beta t^{1+s}I_{1}^{\tfrac{s}{2}}I_{2}^{1+\tfrac{s}{2}}, \quad \psi_{2}(t)=\beta t^{1+s}I_{1}^{1+\tfrac{s}{2}}I_{2}^{\tfrac{s}{2}}+\beta t^{1+s}I_{2}^{1+s}.
Logo
W_{m} =\int_{0}^{1}\bigl[\psi_{1}(t)\,I_{1}+\psi_{2}(t)\,I_{2}\bigr]dt =\int_{0}^{1}\Bigl[\beta t^{1+\delta}I_{1}^{2+\delta} +2\beta t^{1+s}I_{1}^{1+\tfrac{s}{2}}I_{2}^{1+\tfrac{s}{2}} +\beta t^{1+s}I_{2}^{2+s}\Bigr]dt.
Integramos em t:
W_{m} =\beta\,\frac{I_{1}^{2+\delta}}{2+\delta} +2\beta\,\frac{I_{1}^{1+\tfrac{s}{2}}I_{2}^{1+\tfrac{s}{2}}}{2+s} +\beta\,\frac{I_{2}^{2+s}}{2+s}.

Passo 4

Caminho sequencial
  1. Com I_{2}=0, leva-se I_{1} de 0 a I_{1}:
W_{1} =\int_{0}^{I_{1}}\beta I_{1}'^{1+\delta}\,dI_{1}' =\beta\,\frac{I_{1}^{2+\delta}}{2+\delta}.
  1. Com I_{1} fixo, leva-se I_{2}' de 0 a I_{2}:
\psi_{2}(I_{2}') =\beta I_{1}^{1+\tfrac{s}{2}}I_{2}'^{\tfrac{s}{2}} +\beta I_{2}'^{1+s},
W_{2} =\int_{0}^{I_{2}}\bigl[\beta I_{1}^{1+\tfrac{s}{2}}I_{2}'^{\tfrac{s}{2}} +\beta I_{2}'^{1+s}\bigr]dI_{2}' =2\beta\,\frac{I_{1}^{1+\tfrac{s}{2}}I_{2}^{1+\tfrac{s}{2}}}{2+s} +\beta\,\frac{I_{2}^{2+s}}{2+s}.
Somando W_{1}+W_{2} obtém-se exatamente o mesmo W_{m} do passo anterior.

Resposta

W_{m} =\beta\,\frac{I_{1}^{2+\delta}}{2+\delta} +2\beta\,\frac{I_{1}^{1+\tfrac{s}{2}}I_{2}^{1+\tfrac{s}{2}}}{2+s} +\beta\,\frac{I_{2}^{2+s}}{2+s}.

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