Um “campo livre de forças” é tal que
. Demonstre que um campo desses satisfaz a equação
onde
é uma constante. (Sugestão: No campo livre de forças
é paralelo a B.) Demonstre que
satisfaz a mesma equação. Use o resultado do Problema 2 para encontrar a dependência temporal da densidade de corrente e dos campos.
Passo 1
O enunciado trata de um campo livre de forças, isto é, satisfaz
o que implica que
é paralelo a
. O objetivo é mostrar que
com
constante, e que
satisfaz a mesma equação. Em seguida, usando o resultado do Problema 2 (a equação de difusão magnética
e analogamente para
), encontraremos a dependência temporal de
e
.
Passo 2
Como
, segue que
é paralelo a
. Logo existe escalar
tal que
Assumimos
constante para todo o campo.
Passo 3
Aplicamos o rotacional em ambos os lados de
:
Por outro lado, pela identidade vetorial
e como
, temos
ou seja
Passo 4
Da lei de Ampère sem deslocamento (em regime de MHD lento)
e do resultado anterior
, segue
Logo
é proporcional a
e satisfaz
Passo 5
Do Problema 2 temos que o campo magnético satisfaz a equação de difusão
e semelhantemente
Usando
resulta
Análogo para
:
Resposta
O campo livre de forças satisfaz
e a dependência temporal é