Um “campo livre de forças” é tal que \mathbf{J} \times \mathbf{B}=0. Demonstre que um campo desses satisfaz a equação
\nabla^{2} \mathbf{B}=-\alpha^{2} \mathbf{B}
onde \alpha é uma constante. (Sugestão: No campo livre de forças \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} é paralelo a B.) Demonstre que \mathbf{J} satisfaz a mesma equação. Use o resultado do Problema 2 para encontrar a dependência temporal da densidade de corrente e dos campos.

Passo 1

O enunciado trata de um campo livre de forças, isto é, satisfaz
\mathbf{J}\times\mathbf{B}=0,
o que implica que \nabla\times\mathbf{B} é paralelo a \mathbf{B}. O objetivo é mostrar que
\nabla^{2}\mathbf{B}=-\alpha^{2}\mathbf{B},
com \alpha constante, e que \mathbf{J} satisfaz a mesma equação. Em seguida, usando o resultado do Problema 2 (a equação de difusão magnética \partial\mathbf{B}/\partial t = \eta\,\nabla^2\mathbf{B} e analogamente para \mathbf{J}), encontraremos a dependência temporal de \mathbf{B} e \mathbf{J}.

Passo 2

Como \mathbf{J}\times\mathbf{B}=0, segue que
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J}
é paralelo a \mathbf{B}. Logo existe escalar \alpha tal que
\nabla\times\mathbf{B} = \alpha\,\mathbf{B}.
Assumimos \alpha constante para todo o campo.

Passo 3

Aplicamos o rotacional em ambos os lados de \nabla\times\mathbf{B}=\alpha\,\mathbf{B}:
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B}) = \nabla\times(\alpha\,\mathbf{B}) = \alpha\,(\nabla\times\mathbf{B}) = \alpha^{2}\mathbf{B}.
Por outro lado, pela identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{B}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{B}) - \nabla^{2}\mathbf{B}
e como \nabla\cdot\mathbf{B}=0, temos
-\nabla^{2}\mathbf{B} = \alpha^{2}\mathbf{B},
ou seja
\nabla^{2}\mathbf{B} = -\alpha^{2}\mathbf{B}.

Passo 4

Da lei de Ampère sem deslocamento (em regime de MHD lento) \nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{J} e do resultado anterior \nabla\times\mathbf{B}=\alpha\,\mathbf{B}, segue
\mathbf{J} = \frac{\alpha}{\mu_{0}}\,\mathbf{B}.
Logo \mathbf{J} é proporcional a \mathbf{B} e satisfaz
\nabla^{2}\mathbf{J} = \frac{\alpha}{\mu_{0}}\,\nabla^{2}\mathbf{B} = \frac{\alpha}{\mu_{0}}(-\alpha^{2}\mathbf{B}) = -\alpha^{2}\mathbf{J}.

Passo 5

Do Problema 2 temos que o campo magnético satisfaz a equação de difusão
\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = \eta\,\nabla^{2}\mathbf{B},
e semelhantemente
\frac{\partial\mathbf{J}}{\partial t} = \eta\,\nabla^{2}\mathbf{J}.
Usando \nabla^{2}\mathbf{B}=-\alpha^{2}\mathbf{B} resulta
\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = -\eta\,\alpha^{2}\,\mathbf{B} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{B}(t) = \mathbf{B}(0)\,\exp\bigl(-\eta\,\alpha^{2}\,t\bigr).
Análogo para \mathbf{J}:
\mathbf{J}(t) = \mathbf{J}(0)\,\exp\bigl(-\eta\,\alpha^{2}\,t\bigr).

Resposta

O campo livre de forças satisfaz
\nabla^{2}\mathbf{B}=-\alpha^{2}\mathbf{B}, \quad \nabla^{2}\mathbf{J}=-\alpha^{2}\mathbf{J},
e a dependência temporal é
\mathbf{B}(t)=\mathbf{B}(0)\,e^{-\eta\alpha^{2}t}, \quad \mathbf{J}(t)=\mathbf{J}(0)\,e^{-\eta\alpha^{2}t}.

Exercícios relacionados