1 Um condutor metálico que tem a forma de um segmento de fio de comprimento l se move num campo magnético \mathbf{B} com velocidade \mathbf{v}. A partir de uma reflexāo atenta sobre a força de Lorentz que atua sobre os elétrons do fio, demonstre que as extremidades do fio possuem uma diferença de potencial B \cdot 1^{\prime} \times \mathbf{v}.

Passo 1

O enunciado fala de um condutor reto de comprimento \mathbf{l} que se desloca com velocidade \mathbf{v} num campo magnético uniforme \mathbf{B}. Queremos encontrar a tensão entre as extremidades do fio por meio da força de Lorentz sobre os elétrons. Para isso, vamos usar (i) a força de Lorentz em equilíbrio estático dos elétrons e (ii) a definição de diferença de potencial a partir do campo elétrico intra-condutor.

Passo 2

Um elétron de carga q=-e em movimento relativo ao campo experimenta a força de Lorentz
\mathbf{F}=-e\bigl(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr).
No regime estacionário, não há corrente líquida, logo a força total sobre cada elétron deve anular-se:
\mathbf{F}=\mathbf{0} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}=\mathbf{0} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{E}=-\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.

Passo 3

A diferença de potencial entre as extremidades A e B do fio é dada por
V(B)-V(A)=-\int_{A}^{B}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Como \mathbf{E} é uniforme ao longo do fio, e d\mathbf{l} percorre toda a extensão \mathbf{l}=\overrightarrow{AB}, temos
V(B)-V(A)=-\bigl(-\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot\mathbf{l} =\bigl(\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot\mathbf{l}.

Passo 4

Usando a identidade de produto misto, podemos escrever
\bigl(\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot\mathbf{l} =\mathbf{B}\cdot\bigl(\mathbf{l}\times\mathbf{v}\bigr).

Resposta

\boxed{V(B)-V(A)=\bigl(\mathbf{v}\times\mathbf{B}\bigr)\cdot\mathbf{l} =\mathbf{B}\cdot\bigl(\mathbf{l}\times\mathbf{v}\bigr).}

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