Considere que entre dois condutores cilindricos coaxiais de comprimento
e raios
e
, existe materiais com permissividade elétrica
na região
, sendo
e
na região
.
a. (3 pontos) Encontre a capacitância deste sistema por unidade de comprimento.
b. ( 2 pontos) Para
, encontre o valor da capacitância por unidade de comprimento no SI (ou seja, em F/m).
a. (3 pontos) Encontre a capacitância deste sistema por unidade de comprimento.
b. ( 2 pontos) Para
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar a capacitância por unidade de comprimento entre dois condutores cilíndricos coaxiais, dados os raios e duas regiões dielétricas concêntricas com permissividades distintas.
- (b) Calcular numericamente essa capacitância por unidade de comprimento para um caso particular de permissividades relativas e dimensões.
Dados fornecidos (listei exatamente o que vem do enunciado):
Perguntas claras:
- (a) Obter uma expressão para a capacitância por unidade de comprimento
em função de . - (b) Para o caso numérico:
e dimensões que satisfazem e com , encontrar em SI (F/m).
Passo 2
Entendimento físico e variável-chave que vamos usar (aula rápida e essencial).
- Em linhas coaxiais com simetria cilíndrica e cargas distribuídas no condutor interno, é conveniente usar densidade linear de carga
(carga por unidade de comprimento) porque a configuração é translacionalmente invariante ao longo do eixo. Portanto:
- O campo elétrico
em uma região dielétrica com simetria cilíndrica, devido a uma carga linear localizada no eixo, é radial e tem módulo dado (pela lei de Gauss) por
onde
é a coordenada radial (distância ao eixo) e
é a permissividade do meio naquela região. Vou explicar rapidamente por que: escolha um cilindro gaussiano coaxial de raio
e comprimento
; fluxo elétrico é
e igual a
, daí a expressão acima.
- A diferença de potencial entre os dois condutores (do fio interno ao externo) é
mas atenção: como
muda em
, devemos separar a integral em duas partes: de
a
(onde
) e de
a
(onde
).
Passo 3
Calcular a diferença de potencial
em função de
.
Usando a expressão de e separando as regiões:
Usando a expressão de
Factorizando
:
As integrais
são logaritmos naturais:
Passo 4
Definir capacitância por unidade de comprimento e isolar
.
Por definição, capacitância por unidade de comprimento é a razão entre
e
:
Por definição, capacitância por unidade de comprimento
Substituindo
obtido no passo anterior:
Passo 5
Arrumar a expressão em forma alternativa (por vezes mais conveniente).
Colocando no mesmo denominador:
Colocando no mesmo denominador:
Logo
Esta é a fórmula final simbólica para a capacitância por unidade de comprimento do sistema com duas camadas dielétricas concêntricas.
Passo 6
Preparar os dados numéricos do item (b) — interpretar o enunciado e converter para unidades SI.
O enunciado numérico foi: e as dimensões relacionadas por
e
, com
. A partir disso:
O enunciado numérico foi:
As permissividades absolutas são:
onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 7
Calcular numericamente
usando a fórmula do Passo 5.
Primeiro observe que, com os valores dados, e
, logo
e
. Substituindo na forma do Passo 5:
Primeiro observe que, com os valores dados,
Substituindo
e
:
Simplificando
:
Agora inserir
e calcular numericamente:
(Arredondei a três algarismos significativos para apresentação.)