Considere que entre dois condutores cilindricos coaxiais de comprimento l(m) e raios a e c, \operatorname{com} c>a, existe materiais com permissividade elétrica \epsilon_{1} na região a<\rho<b, sendo b<c e \epsilon_{2} na região b<\rho<c.
a. (3 pontos) Encontre a capacitância deste sistema por unidade de comprimento.
b. ( 2 pontos) Para \epsilon_{R 1}=4 \epsilon_{R 2}=16, c=4 a=2 b=4 \mathrm{~cm}, encontre o valor da capacitância por unidade de comprimento no SI (ou seja, em F/m).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar a capacitância por unidade de comprimento entre dois condutores cilíndricos coaxiais, dados os raios e duas regiões dielétricas concêntricas com permissividades distintas.
  • (b) Calcular numericamente essa capacitância por unidade de comprimento para um caso particular de permissividades relativas e dimensões.
Dados fornecidos (listei exatamente o que vem do enunciado):
\text{o comprimento dos cilindros} = l \\ (\text{mas queremos capacitância por unidade de comprimento})â
\text{raio interno} = a,\qquad \text{raio da interface dielétrica} = b,\qquad \text{raio externo} = c,\quad \text{com }c>a,\\ b<cé
\text{permissividade na região } a<\rho<b \text{ é } \epsilon_{1}ãé
\text{permissividade na região } b<\rho<c \text{ é } \epsilon_{2}ãé
Perguntas claras:
  1. (a) Obter uma expressão para a capacitância por unidade de comprimento C' em função de \epsilon_{1},\epsilon_{2},a,b,c.
  2. (b) Para o caso numérico: \epsilon_{r1}=4,\\ \epsilon_{r2}=16 e dimensões que satisfazem c=4a e c=2b com c=4\\ \text{cm}, encontrar C' em SI (F/m).

Passo 2

Entendimento físico e variável-chave que vamos usar (aula rápida e essencial).
  • Em linhas coaxiais com simetria cilíndrica e cargas distribuídas no condutor interno, é conveniente usar densidade linear de carga \lambda (carga por unidade de comprimento) porque a configuração é translacionalmente invariante ao longo do eixo. Portanto:
\lambda = \text{carga por unidade de comprimento no condutor interno (C/m).}
  • O campo elétrico \mathbf{E} em uma região dielétrica com simetria cilíndrica, devido a uma carga linear \lambda localizada no eixo, é radial e tem módulo dado (pela lei de Gauss) por
E(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\,\rho\,\epsilon},
onde \rho é a coordenada radial (distância ao eixo) e \epsilon é a permissividade do meio naquela região. Vou explicar rapidamente por que: escolha um cilindro gaussiano coaxial de raio \rho e comprimento l; fluxo elétrico é E(\rho)\cdot(2\pi\rho l) e igual a \lambda l/\epsilon, daí a expressão acima.
  • A diferença de potencial entre os dois condutores (do fio interno ao externo) é
V=\int_{a}^{c} E(\rho)\,d\rho,
mas atenção: como \epsilon muda em b, devemos separar a integral em duas partes: de a a b (onde \epsilon=\epsilon_{1}) e de b a c (onde \epsilon=\epsilon_{2}).

Passo 3

Calcular a diferença de potencial V em função de \lambda.
Usando a expressão de E(\rho) e separando as regiões:
V=\int_{a}^{b}\frac{\lambda}{2\pi\,\rho\,\epsilon_{1}}\,d\rho \;+\; \int_{b}^{c}\frac{\lambda}{2\pi\,\rho\,\epsilon_{2}}\,d\rho.
Factorizando \lambda/(2\pi):
V=\frac{\lambda}{2\pi}\left(\frac{1}{\epsilon_{1}}\int_{a}^{b}\frac{d\rho}{\rho}+\frac{1}{\epsilon_{2}}\int_{b}^{c}\frac{d\rho}{\rho}\right).
As integrais \int \frac{d\rho}{\rho} são logaritmos naturais:
V=\frac{\lambda}{2\pi}\left(\frac{1}{\epsilon_{1}}\ln\!\frac{b}{a}+\frac{1}{\epsilon_{2}}\ln\!\frac{c}{b}\right).

Passo 4

Definir capacitância por unidade de comprimento e isolar C'.
Por definição, capacitância por unidade de comprimento C' é a razão entre \lambda e V:
C'=\frac{\lambda}{V}.
Substituindo V obtido no passo anterior:
C'=\frac{\lambda}{\dfrac{\lambda}{2\pi}\left(\dfrac{1}{\epsilon_{1}}\ln\!\dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{\epsilon_{2}}\ln\!\dfrac{c}{b}\right)} =\frac{2\pi}{\dfrac{1}{\epsilon_{1}}\ln\!\dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{\epsilon_{2}}\ln\!\dfrac{c}{b}}.

Passo 5

Arrumar a expressão em forma alternativa (por vezes mais conveniente).
Colocando no mesmo denominador:
\dfrac{1}{\epsilon_{1}}\ln\!\dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{\epsilon_{2}}\ln\!\dfrac{c}{b} =\frac{\epsilon_{2}\ln\!\frac{b}{a}+\epsilon_{1}\ln\!\frac{c}{b}}{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}.
Logo
C'=\frac{2\pi\epsilon_{1}\epsilon_{2}}{\epsilon_{2}\ln\!\dfrac{b}{a}+\epsilon_{1}\ln\!\dfrac{c}{b}}.
Esta é a fórmula final simbólica para a capacitância por unidade de comprimento do sistema com duas camadas dielétricas concêntricas.

Passo 6

Preparar os dados numéricos do item (b) — interpretar o enunciado e converter para unidades SI.
O enunciado numérico foi: \epsilon_{r1}=4,\\ \epsilon_{r2}=16 e as dimensões relacionadas por c=4a e c=2b, com c=4\\ \text{cm}. A partir disso:
c=4\\ \text{cm}=0{,}04\\ \text{m},
c=4a \implies a=\frac{c}{4}=\frac{0{,}04}{4}=0{,}01\\ \text{m}=1\\ \text{cm},
c=2b \implies b=\frac{c}{2}=\frac{0{,}04}{2}=0{,}02\\ \text{m}=2\\ \text{cm}.
As permissividades absolutas são:
\epsilon_{1}=\epsilon_{0}\epsilon_{r1}= \epsilon_{0}\cdot 4, \qquad \epsilon_{2}=\epsilon_{0}\epsilon_{r2}= \epsilon_{0}\cdot 16,
onde \epsilon_{0}=8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m} é a permissividade do vácuo.

Passo 7

Calcular numericamente C' usando a fórmula do Passo 5.
Primeiro observe que, com os valores dados, b/a=2 e c/b=2, logo \ln\!\dfrac{b}{a}=\ln\!2 e \ln\!\dfrac{c}{b}=\ln\!2. Substituindo na forma do Passo 5:
C'=\frac{2\pi\epsilon_{1}\epsilon_{2}}{\epsilon_{2}\ln 2+\epsilon_{1}\ln 2} =\frac{2\pi\epsilon_{1}\epsilon_{2}}{(\epsilon_{1}+\epsilon_{2})\ln 2}.
Substituindo \epsilon_{1}=4\epsilon_{0} e \epsilon_{2}=16\epsilon_{0}:
C'=\frac{2\pi(4\epsilon_{0})(16\epsilon_{0})}{(4\epsilon_{0}+16\epsilon_{0})\ln 2} =\frac{2\pi\cdot 64\,\epsilon_{0}^{2}}{20\,\epsilon_{0}\ln 2} =\frac{128\pi\,\epsilon_{0}}{20\ln 2}.
Simplificando 128/20=6{,}4:
C'=\frac{6{,}4\pi\,\epsilon_{0}}{\ln 2}.
Agora inserir \epsilon_{0}=8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e calcular numericamente:
C'\approx \frac{6{,}4\cdot\pi\cdot 8{,}854187817\times 10^{-12}}{0{,}69314718056} \approx 2{,}57\times 10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
(Arredondei a três algarismos significativos para apresentação.)

Resposta

C'=\frac{2\pi}{\dfrac{1}{\epsilon_{1}}\ln\!\dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{\epsilon_{2}}\ln\!\dfrac{c}{b}} =\frac{2\pi\epsilon_{1}\epsilon_{2}}{\epsilon_{2}\ln\!\dfrac{b}{a}+\epsilon_{1}\ln\!\dfrac{c}{b}}
C'\approx 2{,}57\times 10^{-10}\\ \mathrm{F/m}

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