Suponha que a resistência entre as paredes de uma célula biológica é 5,0 \times 10^{9} \Omega. (a) Qual é a corrente quando a diferença de potencial entre as paredes é 75 mV ? (b) Se a corrente é composta por íons \mathrm{Na}+(\mathrm{q}=+\mathrm{e}), quantos desses íons fluem em 0,50 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a resistência entre as paredes de uma célula e pede duas coisas. Dados e perguntas importantes:
  • Resistência: R = 5{,}0 \times 10^{9}\\ \Omega.
  • Diferença de potencial: \Delta V = 75\\ \text{mV}.
  • Tempo para a segunda parte: t = 0{,}50\\ \text{s}.
  • Pergunta (a): Qual é a corrente quando a diferença de potencial entre as paredes é 75\\ \text{mV} ?
  • Pergunta (b): Se a corrente é composta por íons \mathrm{Na}^+ (carga por íon q=+e), quantos íons passam em 0{,}50\\ \text{s} ?

Passo 2

Entendendo a física e as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
  • Lei de Ohm: a corrente elétrica I através de um condutor é dada por
I=\frac{\Delta V}{R},
onde \Delta V é a diferença de potencial (em volts) e R é a resistência (em ohms). Aqui I terá unidades de ampère (\text{A}), que equivalem a coulomb por segundo (\text{C}/\text{s}).
  • Definição de corrente como fluxo de carga: a corrente média também satisfaz
I=\frac{Q}{t},
onde Q é a carga total que atravessou em tempo t. Para saber quantos íons passaram, dividimos a carga total Q pela carga de cada íon q:
N=\frac{Q}{q}.
Explicação das variáveis:
  • \Delta V: diferença de potencial em volts.
  • R: resistência em ohms.
  • I: corrente em ampères.
  • Q: carga total em coulombs.
  • t: tempo em segundos.
  • q: carga por partícula (aqui q=e, o elemento de carga).

Passo 3

Primeiro convertemos a diferença de potencial para volts (porque unidades precisam casar):
75\\ \text{mV} = 75\times 10^{-3}\\ \text{V} = 0{,}075\\ \text{V}.
Agora aplicamos a lei de Ohm para achar a corrente:
I=\frac{\Delta V}{R}=\frac{0{,}075}{5{,}0\times 10^{9}}.
Vamos fazer a conta com notação científica:
0{,}075 = 7{,}5\times 10^{-2},
então
I=\frac{7{,}5\times 10^{-2}}{5{,}0\times 10^{9}} = \frac{7{,}5}{5{,}0}\times 10^{-2-9}.
Calcule a razão e as potências:
\frac{7{,}5}{5{,}0}=1{,}5,\qquad -2-9=-11,
logo
I=1{,}5\times 10^{-11}\\ \text{A}.
Comentário: mantivemos duas casas significativas porque os dados iniciais têm duas casas significativas.

Passo 4

Agora vamos à parte (b). Primeiro achamos a carga total que passou em t=0{,}50\\ \text{s} usando Q=I\cdot t:
Q = I\,t = \left(1{,}5\times 10^{-11}\\ \text{A}\right)\left(0{,}50\\ \text{s}\right).
Multiplicando:
Q = 1{,}5\times 0{,}50 \times 10^{-11}\\ \text{C} = 0{,}75 \times 10^{-11}\\ \text{C}.
Escrevendo em notação científica padrão:
Q = 7{,}5\times 10^{-12}\\ \text{C}.

Passo 5

Cada íon \mathrm{Na}^+ carrega a carga elementar e. Usamos o valor aproximado
e = 1{,}60\times 10^{-19}\\ \text{C}.
O número de íons que passaram em t é
N=\frac{Q}{e}=\frac{7{,}5\times 10^{-12}}{1{,}60\times 10^{-19}}.
Fazendo a divisão em potências de dez e coeficientes:
\frac{7{,}5}{1{,}60}=4{,}6875,\qquad 10^{-12-(-19)}=10^{7},
logo
N=4{,}6875\times 10^{7}.
Arredondando sensivelmente (dois algarismos significativos, como nos dados):
N\approx 4{,}7\times 10^{7}\\ \text{íons}.í
Interpretação rápida: isso é cerca de quarenta e sete milhões de íons — parece muito, mas cada íon tem carga minúscula, então mesmo correntes ínfimas transportam muitos íons ao longo de meio segundo.

Resposta

(a) I=1{,}5\times 10^{-11}\\ \text{A}
(b) N\approx 4{,}7\times 10^{7}\\ \text{íons}í

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