Considere dois conjuntos A, B subset U. Prove que
i) A subset B Leftrightarrow A^c supset B^c.

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra mostrar que, para dois conjuntos A subset B Long<=ftrightarrow A^c supset B^c e dentro de um universo , vale
Aqui o conteúdo é Teoria de Conjuntos, mais especificamente definições de subconjunto ( ), complemento ( ), e a lógica por trás de “se e somente se”. Vamos precisar:
  • Definição de : todo elemento de está em .
  • Definição de complemento : elementos de que não estão em .
  • Saber usar contrapositiva e implicação lógica.

Passo 2

Provar .
  1. Suponha .
  2. Pegue um elemento genérico .
  3. Por definição de complemento, significa .
  4. Como , todo está em . Logo, se não está em , não pode estar em . Portanto .
  5. Mas é justamente .
  6. Concluímos que qualquer está em , ou seja, .
  7. E por definição de “subset” e “superset”, isso é o mesmo que .

Passo 3

Provar .
  1. Suponha , ou seja, .
  2. Queremos mostrar que todo também está em .
  3. Usamos aqui a ideia da contrapositiva: a afirmação “ implica ” é lógica equivalente a “se então ”.
  4. Então pegue um tal que . Isso significa .
  5. Como , segue , isto é, .
  6. Logo mostramos a contrapositiva: .
  7. Portanto , que é exatamente .

Resposta

Portanto, mostramos as duas direções e concluímos
A subset B Long<=ftrightarrow A^c supset B^c

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