Considere dois conjuntos
. Prove que
i)
.
i)
Passo 1
Beleza, o exercício tá pedindo pra mostrar que, para dois conjuntos
e
dentro de um universo
, vale
Aqui o conteúdo é Teoria de Conjuntos, mais especificamente definições de subconjunto (
), complemento (
), e a lógica por trás de “se e somente se”. Vamos precisar:
- Definição de
: todo elemento de está em . - Definição de complemento
: elementos de que não estão em . - Saber usar contrapositiva e implicação lógica.
Passo 2
Provar
.
- Suponha
. - Pegue um elemento genérico
. - Por definição de complemento,
significa . - Como
, todo está em . Logo, se não está em , não pode estar em . Portanto . - Mas
é justamente . - Concluímos que qualquer
está em , ou seja, . - E por definição de “subset” e “superset”, isso é o mesmo que
.
Passo 3
Provar
.
- Suponha
, ou seja, . - Queremos mostrar que todo
também está em . - Usamos aqui a ideia da contrapositiva: a afirmação “
implica ” é lógica equivalente a “se então ”. - Então pegue um
tal que . Isso significa . - Como
, segue , isto é, . - Logo mostramos a contrapositiva:
. - Portanto
, que é exatamente .
Resposta
Portanto, mostramos as duas direções e concluímos