Dado o conjunto S=a, b, c, d, quantos subconjuntos de S têm exatamente dois elementos?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o conjunto

e quer saber quantos subconjuntos de têm exatamente dois elementos.
Isso é um problema de combinatória básica, mais especificamente de combinação (ou coeficiente binomial).
Para resolver, vamos precisar entender:
  • O que é um subconjunto com exatamente elementos;
  • A fórmula de combinação ;
  • Noção de fatorial para calcular essa fórmula.

Passo 2

Primeiro, o que é um subconjunto com exatamente dois elementos?
Significa que, dentre os 4 elementos de , a gente escolhe 2 e forma um pedaço de .
Por exemplo, se eu escolher , isso já é um subconjunto de tamanho 2.
O ponto é: a ordem de escolha não importa (escolher e depois é a mesma coisa que e depois ).

Passo 3

Aqui entra a fórmula da combinação, que conta quantas formas diferentes de escolher binomnk = n!k!,(n-k)!, itens dentre binom42 = 4!2!,(4-2)! = 4times3times2times1(2times1),(2times1) = 242times2 = 244 =6 sem se importar com a ordem.
A notação é
onde (lê-se “ fatorial”) é o produto .
No nosso caso, (os 4 elementos de ) e .
Então:

Passo 4

Para deixar mais claro, dá para listar os subconjuntos com 2 elementos:
.
São exatamente 6, como o cálculo da combinação mostrou.

Resposta

O número de subconjuntos de com exatamente dois elementos é 6.

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