Dado o conjunto
, quantos subconjuntos de
têm exatamente dois elementos?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos o conjunto
e quer saber quantos subconjuntos de têm exatamente dois elementos.
Isso é um problema de combinatória básica, mais especificamente de combinação (ou coeficiente binomial).
Para resolver, vamos precisar entender:
e quer saber quantos subconjuntos de
Isso é um problema de combinatória básica, mais especificamente de combinação (ou coeficiente binomial).
Para resolver, vamos precisar entender:
- O que é um subconjunto com exatamente
elementos; - A fórmula de combinação
; - Noção de fatorial para calcular essa fórmula.
Passo 2
Primeiro, o que é um subconjunto com exatamente dois elementos?
Significa que, dentre os 4 elementos de , a gente escolhe 2 e forma um pedaço de
.
Por exemplo, se eu escolher , isso já é um subconjunto de tamanho 2.
O ponto é: a ordem de escolha não importa (escolher e depois
é a mesma coisa que
e depois
).
Significa que, dentre os 4 elementos de
Por exemplo, se eu escolher
O ponto é: a ordem de escolha não importa (escolher
Passo 3
Aqui entra a fórmula da combinação, que conta quantas formas diferentes de escolher
itens dentre
sem se importar com a ordem.
A notação é
A notação é
onde
(lê-se “
fatorial”) é o produto
.
No nosso caso,
(os 4 elementos de
) e
.
Então:
Então:
Passo 4
Para deixar mais claro, dá para listar os subconjuntos com 2 elementos:
.
São exatamente 6, como o cálculo da combinação mostrou.
São exatamente 6, como o cálculo da combinação mostrou.
Resposta
O número de subconjuntos de
com exatamente dois elementos é 6.