Considere dois corpos com áreas A_{1} e A_{2} e temperaturas T_{1} e T_{2}. Eles emitirão a mesma quantidade de radiação por unidade de tempo se R\left(T_{1}\right) A_{1}=R\left(T_{2}\right) A_{2}, onde R(T) é a lei de Stephan, R(T)=\sigma T^{4}, \sigma=5,67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}^{4}\right). Determine qual deve ser a área de um corpo negro a 0{ }^{\circ} \mathrm{C} para emitir tanta radiação quanto um corpo negro de 1 \mathrm{~m}^{2} a 100^{\circ} \mathrm{C} e a 1000^{\circ} \mathrm{C}.
R\left(0^{\circ} \mathrm{C}\right)=\quad A_{100{ }^{\circ} \mathrm{C}}=\quad A_{1000^{\circ} \mathrm{C}}=
\qquad

Passo 1

O enunciado pede a área de um corpo negro à temperatura de 0\circC que emita a mesma potência que um corpo negro de área 1 m^{2} a 100\circC e a 1000\circC. O conteúdo é a lei de Stefan–Boltzmann, que diz que a potência emitida por área é
R(T)=\sigma T^{4},
logo precisaremos igualar as potências totais e converter as temperaturas de Celsius para Kelvin.

Passo 2

Seja A_{0} a área do corpo a 0\circC (temperatura T_{0}) e A_{2}=1 m^{2} o corpo à temperatura T_{2}. Igualando potências:
\sigma T_{0}^{4}A_{0}=\sigma T_{2}^{4}A_{2}
Como \sigma e A_{2}=1 m^{2} são comuns,
A_{0}=\biggl(\frac{T_{2}}{T_{0}}\biggr)^{4}\,.

Passo 3

Converter as temperaturas para Kelvin:
T_{0}=0\,^{\circ}\mathrm{C}=273{,}15\,\mathrm{K},
T_{100}=100\,^{\circ}\mathrm{C}=373{,}15\,\mathrm{K},
T_{1000}=1000\,^{\circ}\mathrm{C}=1273{,}15\,\mathrm{K}.

Passo 4

Para 100\circC ( T_{2}=373{,}15 K) e A_{2}=1 m^{2}:
A_{100}=\biggl(\frac{373{,}15}{273{,}15}\biggr)^{4}\approx(1{,}366)^{4}\approx3{,}49\text{ m}^{2}.

Passo 5

Para 1000\circC ( T_{2}=1273{,}15 K) e A_{2}=1 m^{2}:
A_{1000}=\biggl(\frac{1273{,}15}{273{,}15}\biggr)^{4}\approx(4{,}665)^{4}\approx4{,}74\times10^{2}\text{ m}^{2}.

Resposta

A_{100\,^{\circ}\mathrm{C}}\approx3{,}49\,\mathrm{m}^{2} A_{1000\,^{\circ}\mathrm{C}}\approx4{,}74\times10^{2}\,\mathrm{m}^{2}

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