Resolva, usando série de potências, a equação y^{\prime}+2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' + 2y = 0
usando séries de potências centradas em x=0. A ideia é supor uma solução da forma
y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n
e determinar os coeficientes a_n de modo que a equação seja satisfeita.

Passo 2

Assumimos
y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n.
Derivando termo a termo, obtemos
y' = \sum_{n=0}^\infty (n+1)\,a_{n+1}\,x^n.

Passo 3

Substituímos y e y' na equação y' + 2y = 0:
\sum_{n=0}^\infty (n+1)\,a_{n+1}\,x^n \;+\; 2\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n \;=\; 0.
Unindo em uma única soma:
\sum_{n=0}^\infty \bigl((n+1)\,a_{n+1} + 2\,a_n\bigr)\,x^n = 0.

Passo 4

Para que essa soma seja zero para todo x, cada coeficiente deve satisfazer
(n+1)\,a_{n+1} + 2\,a_n = 0,
o que leva à relação de recorrência
a_{n+1} = -\frac{2}{\,n+1\,}\;a_n, \quad n = 0,1,2,\dots

Passo 5

Tomando a_0 como constante livre, calculamos alguns termos:
a_1 = -2a_0,
a_2 = -\tfrac{2}{2}a_1 = \tfrac{(-2)^2}{2!}a_0,
a_3 = -\tfrac{2}{3}a_2 = \tfrac{(-2)^3}{3!}a_0,
e assim por diante. Por indução chega-se a
a_n = \frac{(-2)^n}{n!}\,a_0.

Passo 6

Substituindo no somatório,
y = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{n!}\,x^n = a_0\,e^{-2x}.

Resposta

A solução geral da equação é
y = C\,e^{-2x},
onde C = a_0 é uma constante arbitrária.

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