Resolva, usando série de potências, a equação
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando séries de potências centradas em
. A ideia é supor uma solução da forma
e determinar os coeficientes
de modo que a equação seja satisfeita.
Passo 2
Assumimos
Derivando termo a termo, obtemos
Passo 3
Substituímos
e
na equação
:
Unindo em uma única soma:
Passo 4
Para que essa soma seja zero para todo
, cada coeficiente deve satisfazer
o que leva à relação de recorrência
Passo 5
Tomando
como constante livre, calculamos alguns termos:
,
,
,
e assim por diante. Por indução chega-se a
e assim por diante. Por indução chega-se a
Passo 6
Substituindo no somatório,
Resposta
A solução geral da equação é
onde
é uma constante arbitrária.