Resolva o problema de valor inicial. Descreva o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty.
x^{\prime}=\left[\begin{array}{cc} 5 & -1 \\\\ 3 & 1 \end{array}\right] x, x(0)=\left[\begin{array}{c} 2 \\\\ -1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear homogêneo
x' = A\,x,\quad A = \begin{pmatrix}5 & -1\\[6pt]3 & 1\end{pmatrix},
com condição inicial
x(0)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com matriz constante via autovalores e autovetores, e depois analisar o comportamento da solução quando t\to\infty.]

Passo 2

Para encontrar os autovalores, calculamos o polinômio característico:
\det(A - \lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}5-\lambda & -1\\[4pt]3 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(5-\lambda)(1-\lambda)-(-1)\cdot3 =\lambda^2-6\lambda+8.
As raízes são
\lambda_1=2,\quad \lambda_2=4.]

Passo 3

Para \lambda_1=2, resolvemos (A-2I)v=0:
\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix}v=0 \;\Longrightarrow\;v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=4, resolvemos (A-4I)v=0:
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]3 & -3\end{pmatrix}v=0 \;\Longrightarrow\;v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

A solução geral é
x(t)=C_1e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} +C_2e^{4t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Impondo x(0)=\bigl(C_1+C_2,\;3C_1+C_2\bigr)^{\!T}=(2,-1)^{T}\), obtemos o sistema \[\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\\\ 3C_1 + C_2 = -1, \end{cases}
cuja solução é C_1=-\tfrac32\], \(C_2=\tfrac72. Portanto
x(t) =-\tfrac32\,e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} +\tfrac72\,e^{4t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Como e^{4t} cresce mais rápido que e^{2t}, o termo proporcional a e^{4t} domina quando t\to\infty. Logo
x(t)\sim \tfrac72\,e^{4t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
e a solução diverge exponencialmente, aproximando-se da direção do autovetor \bigl(1,1\bigr)^{T}.]

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
x(t) =-\tfrac32\,e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} +\tfrac72\,e^{4t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
e quando t\to\infty ela diverge exponencialmente, com direção aproximada \bigl(1,1\bigr)^{T}.]

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