(a) Considere dois corpos de dimensões desprezíveis, massas
e
, calor específico
e
, e temperaturas iniciais
e
. Se esses corpos forem postos em contato dentro de um recipiente isolante térmico, determine a temperatura de equilíbrio térmico.
(b) Agora vamos descrever esse processo por meio da lei de resfriamento de Newton. Sejam
e
as duas taxas de resfriamento que entram nas suas respectivas equações diferenciais ordinárias:
Determine a temperatura de equilíbrio térmico.
(c) Como a razão
se relaciona com
e
?
(b) Agora vamos descrever esse processo por meio da lei de resfriamento de Newton. Sejam
(c) Como a razão
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados (peguei todos do enunciado):
- massas
e (dimensões desprezíveis); - calores específicos
e ; - temperaturas iniciais
e (essas são as temperaturas no instante inicial); - o sistema fica em um recipiente isolante térmico (ou seja, não há troca de calor com o ambiente externo).
- massas
-
Perguntas:
(a) Determinar a temperatura de equilíbrio térmico quando os dois corpos são postos em contato (caso geral, usando conservação de energia).
(b) Considerando agora a modelagem por meio da lei de resfriamento de Newton dada pelas EDOsdeterminar a temperatura de equilíbrio térmico.
(c) Relacionar a razãocom .
Passo 2
(a) Entendendo a conservação de energia térmica (calor): explicação didática.
- Conceito: num recipiente termicamente isolado, o calor total se conserva. Isso significa que o somatório do “conteúdo térmico” (energia térmica interna sensível) dos dois corpos permanece constante.
- Para pequenos corpos cujas capacidades são constantes, a variação de energia térmica de um corpo ao mudar de temperatura é
onde: -
é a massa do corpo, -
é o calor específico (capacidade térmica por unidade de massa), -
é a variação de temperatura (temperatura final menos inicial).
-
- Para o equilíbrio térmico final, chamo a temperatura comum de
. As variações de energia dos dois corpos somadas devem ser zero (calor perdido por um = calor ganho pelo outro). Escrevo isso direto, sem assumir quem é mais quente: Essa equação diz: soma das mudanças de energia dos dois corpos = 0.
Passo 3
(resolução algébrica do item (a)): isolar
.
- Começo expandindo e agrupando termos em
: - Daí
- Interpretação simples: é uma média ponderada das temperaturas iniciais, os pesos são as capacidades térmicas
— o corpo com maior capacidade térmica “puxa” mais a temperatura final para perto da sua temperatura inicial.
Passo 4
(b) Agora trabalhar com as EDOs de Newton: explicação do modelo e das variáveis.
- A lei de resfriamento de Newton em forma diferencial diz que a taxa de variação da temperatura de cada corpo é proporcional à diferença de temperatura entre eles. Nos termos do enunciado:
onde: -
e são constantes positivas que representam, no modelo, a “taxa” com que cada corpo troca calor com o outro (depende de condutâncias, geometria, etc.); - sinais: se
então (o corpo 1 aquece), e simetricamente para o outro.
-
- Passo prático: equilibrium (temperatura de equilíbrio) é um estado em que as derivadas temporais são zero. Então imponho
e .
Passo 5
(encontrar o equilíbrio a partir das EDOs)
- Impondo
e obtemos - Como
(constantes positivas no modelo físico), as únicas soluções são ou seja, no equilíbrio ambas as temperaturas coincidem num valor . - Para achar o valor numérico de
precisamos usar uma conservação: num recipiente isolante o calor total deve ser conservado durante o processo real. Vamos relacionar isso com o sistema de EDOs para obter .
Passo 6
(relação entre as EDOs e a conservação de energia — derivada do somatório de energias)
- Defino o somatório ponderado da temperatura (energia térmica total, até um fator
): - Diferencio
em relação ao tempo usando as EDOs: Substituo as expressões das derivadas: - Agrupo o fator
: - Como o recipiente é isolante, fisicamente esperamos
para todo . Para que a expressão acima seja identicamente zero para quaisquer diferenças de temperatura que apareçam durante a evolução, é necessário e suficiente que Esta igualdade diz que os parâmetros não são independentes se o modelo de Newton deve respeitar a conservação de energia do sistema isolado: os produtos devem coincidir.
Passo 7
(usar conservação para achar
)
- Admitindo a condição física
temos e, portanto, é constante igual ao seu valor inicial: - No limite
, como e tendem para o mesmo valor , temos - Igualando
obtemos - Observação adicional (dinâmica do decaimento): é útil ver como a diferença de temperaturas evolui. Defina
. Subtraindo as duas EDOs obtém-se Daí que mostra que a diferença decai exponencialmente e que a convergência ao equilíbrio é governada por . Isso confirma que, independentemente das massas, as constantes controlam a rapidez da equalização, enquanto as capacidades controlam a posição do equilíbrio via conservação de energia.
Passo 8
(c) Relacionando
com
- A partir da condição necessária para conservação de energia no modelo Newtoniano:
divide-se ambos os lados por (supondo todos positivos) para obter - Interpretação física simples:
mede rapidez de troca por unidade de “inércia térmica” . Se um corpo tem maior massa ou maior calor específico (maior ), ele precisa de uma constante menor para que o produto seja o mesmo do outro corpo — assim a troca entre os dois permanece consistente com conservação total.
Resposta
(a)
(b)
(c)