(a) Considere dois corpos de dimensões desprezíveis, massas m_{1} e m_{2}, calor específico c_{1} e c_{2}, e temperaturas iniciais \theta_{1} e \theta_{2}. Se esses corpos forem postos em contato dentro de um recipiente isolante térmico, determine a temperatura de equilíbrio térmico.
(b) Agora vamos descrever esse processo por meio da lei de resfriamento de Newton. Sejam k_{1} e k_{2} as duas taxas de resfriamento que entram nas suas respectivas equações diferenciais ordinárias:
\dot{\theta}_{1}(t)=k_{1}\left(\theta_{2}(t)-\theta_{1}(t)\right) \quad \text { e } \quad \dot{\theta}_{2}(t)=k_{2}\left(\theta_{1}(t)-\theta_{2}(t)\right)
Determine a temperatura de equilíbrio térmico.
(c) Como a razão k_{1} / k_{2} se relaciona com m_{1}, m_{2}, c_{1} e c_{2} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • massas m_{1} e m_{2} (dimensões desprezíveis);
    • calores específicos c_{1} e c_{2};
    • temperaturas iniciais \theta_{1} e \theta_{2} (essas são as temperaturas no instante inicial);
    • o sistema fica em um recipiente isolante térmico (ou seja, não há troca de calor com o ambiente externo).
  • Perguntas:
    (a) Determinar a temperatura de equilíbrio térmico quando os dois corpos são postos em contato (caso geral, usando conservação de energia).
    (b) Considerando agora a modelagem por meio da lei de resfriamento de Newton dada pelas EDOs
    \dot{\theta}_{1}(t)=k_{1}\bigl(\theta_{2}(t)-\theta_{1}(t)\bigr),\qquad \dot{\theta}_{2}(t)=k_{2}\bigl(\theta_{1}(t)-\theta_{2}(t)\bigr),
    determinar a temperatura de equilíbrio térmico.
    (c) Relacionar a razão k_{1}/k_{2} com m_{1},\,m_{2},\,c_{1},\,c_{2}.

Passo 2

(a) Entendendo a conservação de energia térmica (calor): explicação didática.
  • Conceito: num recipiente termicamente isolado, o calor total se conserva. Isso significa que o somatório do “conteúdo térmico” (energia térmica interna sensível) dos dois corpos permanece constante.
  • Para pequenos corpos cujas capacidades são constantes, a variação de energia térmica de um corpo ao mudar de temperatura é \Delta Q = m\,c\,\Delta\theta,onde:
    • m é a massa do corpo,
    • c é o calor específico (capacidade térmica por unidade de massa),
    • \Delta\theta é a variação de temperatura (temperatura final menos inicial).
  • Para o equilíbrio térmico final, chamo a temperatura comum de \theta_{\text{eq}}. As variações de energia dos dois corpos somadas devem ser zero (calor perdido por um = calor ganho pelo outro). Escrevo isso direto, sem assumir quem é mais quente: m_{1}c_{1}\bigl(\theta_{\text{eq}}-\theta_{1}\bigr)+m_{2}c_{2}\bigl(\theta_{\text{eq}}-\theta_{2}\bigr)=0.Essa equação diz: soma das mudanças de energia dos dois corpos = 0.

Passo 3

(resolução algébrica do item (a)): isolar \theta_{\text{eq}}.
  • Começo expandindo e agrupando termos em \theta_{\text{eq}}: \bigl(m_{1}c_{1}+m_{2}c_{2}\bigr)\theta_{\text{eq}} - \bigl(m_{1}c_{1}\theta_{1}+m_{2}c_{2}\theta_{2}\bigr)=0.
  • Daí \theta_{\text{eq}}=\frac{m_{1}c_{1}\theta_{1}+m_{2}c_{2}\theta_{2}}{m_{1}c_{1}+m_{2}c_{2}}.
  • Interpretação simples: é uma média ponderada das temperaturas iniciais, os pesos são as capacidades térmicas m_{i}c_{i} — o corpo com maior capacidade térmica “puxa” mais a temperatura final para perto da sua temperatura inicial.

Passo 4

(b) Agora trabalhar com as EDOs de Newton: explicação do modelo e das variáveis.
  • A lei de resfriamento de Newton em forma diferencial diz que a taxa de variação da temperatura de cada corpo é proporcional à diferença de temperatura entre eles. Nos termos do enunciado: \dot{\theta}_{1}=k_{1}\bigl(\theta_{2}-\theta_{1}\bigr),\qquad \dot{\theta}_{2}=k_{2}\bigl(\theta_{1}-\theta_{2}\bigr),onde:
    • k_{1} e k_{2} são constantes positivas que representam, no modelo, a “taxa” com que cada corpo troca calor com o outro (depende de condutâncias, geometria, etc.);
    • sinais: se \theta_{2}>\theta_{1} então \dot{\theta}_{1}>0 (o corpo 1 aquece), e simetricamente para o outro.
  • Passo prático: equilibrium (temperatura de equilíbrio) é um estado em que as derivadas temporais são zero. Então imponho \dot{\theta}_{1}=0 e \dot{\theta}_{2}=0.

Passo 5

(encontrar o equilíbrio a partir das EDOs)
  • Impondo \dot{\theta}_{1}=0 e \dot{\theta}_{2}=0 obtemos k_{1}\bigl(\theta_{2}-\theta_{1}\bigr)=0,\qquad k_{2}\bigl(\theta_{1}-\theta_{2}\bigr)=0.
  • Como k_{1},k_{2}>0 (constantes positivas no modelo físico), as únicas soluções são \theta_{1}=\theta_{2}=\theta_{\infty},ou seja, no equilíbrio ambas as temperaturas coincidem num valor \theta_{\infty}.
  • Para achar o valor numérico de \theta_{\infty} precisamos usar uma conservação: num recipiente isolante o calor total deve ser conservado durante o processo real. Vamos relacionar isso com o sistema de EDOs para obter \theta_{\infty}.

Passo 6

(relação entre as EDOs e a conservação de energia — derivada do somatório de energias)
  • Defino o somatório ponderado da temperatura (energia térmica total, até um fator m c): S(t)=m_{1}c_{1}\theta_{1}(t)+m_{2}c_{2}\theta_{2}(t).
  • Diferencio S em relação ao tempo usando as EDOs: \dot{S}(t)=m_{1}c_{1}\dot{\theta}_{1}+m_{2}c_{2}\dot{\theta}_{2}.Substituo as expressões das derivadas: \dot{S}(t)=m_{1}c_{1}k_{1}\bigl(\theta_{2}-\theta_{1}\bigr)+m_{2}c_{2}k_{2}\bigl(\theta_{1}-\theta_{2}\bigr).
  • Agrupo o fator \theta_{2}-\theta_{1}: \dot{S}(t)=\bigl(\theta_{2}-\theta_{1}\bigr)\bigl(m_{1}c_{1}k_{1}-m_{2}c_{2}k_{2}\bigr).
  • Como o recipiente é isolante, fisicamente esperamos \dot{S}(t)=0 para todo t. Para que a expressão acima seja identicamente zero para quaisquer diferenças de temperatura \theta_{2}-\theta_{1} que apareçam durante a evolução, é necessário e suficiente que m_{1}c_{1}k_{1}=m_{2}c_{2}k_{2}.Esta igualdade diz que os parâmetros k_{1},k_{2} não são independentes se o modelo de Newton deve respeitar a conservação de energia do sistema isolado: os produtos m_{i}c_{i}k_{i} devem coincidir.

Passo 7

(usar conservação para achar \theta_{\infty})
  • Admitindo a condição física m_{1}c_{1}k_{1}=m_{2}c_{2}k_{2},temos \dot{S}(t)=0 e, portanto, S(t) é constante igual ao seu valor inicial: S(t)=S(0)=m_{1}c_{1}\theta_{1}+m_{2}c_{2}\theta_{2}.
  • No limite t\to\infty, como \theta_{1}(t) e \theta_{2}(t) tendem para o mesmo valor \theta_{\infty}, temos S(\infty)=\bigl(m_{1}c_{1}+m_{2}c_{2}\bigr)\theta_{\infty}.
  • Igualando S(\infty)=S(0) obtemos \theta_{\infty}=\frac{m_{1}c_{1}\theta_{1}+m_{2}c_{2}\theta_{2}}{m_{1}c_{1}+m_{2}c_{2}}.
  • Observação adicional (dinâmica do decaimento): é útil ver como a diferença de temperaturas evolui. Defina d(t)=\theta_{1}(t)-\theta_{2}(t). Subtraindo as duas EDOs obtém-se \dot{d}(t)=-(k_{1}+k_{2})\,d(t).Daí d(t)=d(0)\,e^{-(k_{1}+k_{2})t},que mostra que a diferença decai exponencialmente e que a convergência ao equilíbrio é governada por k_{1}+k_{2}. Isso confirma que, independentemente das massas, as constantes k_i controlam a rapidez da equalização, enquanto as capacidades m_i c_i controlam a posição do equilíbrio via conservação de energia.

Passo 8

(c) Relacionando k_{1}/k_{2} com m_{1},m_{2},c_{1},c_{2}
  • A partir da condição necessária para conservação de energia no modelo Newtoniano: m_{1}c_{1}k_{1}=m_{2}c_{2}k_{2},divide-se ambos os lados por m_{2}c_{2}k_{2} (supondo todos positivos) para obter \frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{m_{2}c_{2}}{m_{1}c_{1}}.
  • Interpretação física simples: k_{i} mede rapidez de troca por unidade de “inércia térmica” m_{i}c_{i}. Se um corpo tem maior massa ou maior calor específico (maior m_{i}c_{i}), ele precisa de uma constante k_{i} menor para que o produto m_{i}c_{i}k_{i} seja o mesmo do outro corpo — assim a troca entre os dois permanece consistente com conservação total.

Resposta

(a) \displaystyle \theta_{\text{eq}}=\frac{m_{1}c_{1}\theta_{1}+m_{2}c_{2}\theta_{2}}{m_{1}c_{1}+m_{2}c_{2}}
(b) \displaystyle \theta_{\infty}=\frac{m_{1}c_{1}\theta_{1}+m_{2}c_{2}\theta_{2}}{m_{1}c_{1}+m_{2}c_{2}}
(c) \displaystyle \frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{m_{2}c_{2}}{m_{1}c_{1}}

Exercícios relacionados