Utilizando a transformada de Laplace, resolva a segunda lei de Newton para o oscilador harmônico amortecido,
\ddot{x}(t)+\beta \dot{x}(t)+\omega_{0}^{2} x(t)=0
\operatorname{com} \beta>0 e satisfazendo as condições iniciais x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0}.

Passo 1

Vou reescrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder (peguei tudo do enunciado):
  • Equação diferencial a resolver:
\ddot{x}(t)+\beta \dot{x}(t)+\omega_{0}^{2} x(t)=0,
com \beta>0.
  • Condições iniciais:
x(0)=x_{0},\qquad \dot{x}(0)=v_{0}.
  • Pedido: encontrar x(t) para t\ge0 usando a transformada de Laplace, em todas as situações possíveis (dependendo de \beta e \omega_{0}).

Passo 2

Breve aula sobre a transformada de Laplace e suas propriedades úteis aqui:
  • Definição: para uma função f(t) (assumindo crescimento apropriado),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa com parte real grande o suficiente para convergência.
  • Propriedade linear: \mathcal{L}\{a f+b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformadas de derivadas (fundamentais para EDOs com condições iniciais). Se X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}, então
\mathcal{L}\{\dot{x}(t)\}(s)=sX(s)-x(0),
\mathcal{L}\{\ddot{x}(t)\}(s)=s^{2}X(s)-s x(0)-\dot{x}(0).
Essas fórmulas aparecem ao integrar por partes na definição da transformada.
  • Pares padrão que vamos usar para inverter:
\mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(\omega t)\}(s)=\dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+\omega^{2}},
\mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(\omega t)\}(s)=\dfrac{\omega}{(s+a)^{2}+\omega^{2}},
\mathcal{L}\{e^{r t}\}(s)=\dfrac{1}{s-r}.
Aqui a,\omega,r são constantes e s é a variável da transformada.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na equação dada. Seja X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}(s). Tomando transformada termo a termo e usando as fórmulas de derivada:
\mathcal{L}\{\ddot{x}\}=s^{2}X(s)-s x_{0}-v_{0},
\mathcal{L}\{\beta\dot{x}\}=\beta\big(sX(s)-x_{0}\big),
\mathcal{L}\{\omega_{0}^{2}x\}=\omega_{0}^{2}X(s).
Somando conforme a EDO e igualando a zero:
\big(s^{2}+\beta s+\omega_{0}^{2}\big)X(s)-s x_{0}-v_{0}-\beta x_{0}=0.
Isolando X(s):
X(s)=\dfrac{s x_{0}+v_{0}+\beta x_{0}}{s^{2}+\beta s+\omega_{0}^{2}}.
É conveniente escrever o numerador de forma compacta:
X(s)=\dfrac{(s+\beta)x_{0}+v_{0}}{s^{2}+\beta s+\omega_{0}^{2}}.

Passo 4

Analisar o denominador e preparar a inversão. O polinômio do denominador tem discriminante
\Delta=\beta^{2}-4\omega_{0}^{2}.
Existem três casos qualitativamente diferentes, que dão soluções com formas distintas:
  • Subamortecido: \Delta<0 (ou seja \beta^{2}<4\omega_{0}^{2}).
  • Criticamente amortecido: \Delta=0 (ou seja \beta^{2}=4\omega_{0}^{2}).
  • Sobreamortecido: \Delta>0 (ou seja \beta^{2}>4\omega_{0}^{2}).
Vou inverter X(s) separadamente em cada caso, usando as transformadas padrão mostradas no Passo 2.

Passo 5

Defina
a=\dfrac{\beta}{2},\qquad \omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-a^{2}}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\dfrac{\beta^{2}}{4}}>0.
Escrevemos o denominador completando quadrado:
s^{2}+\beta s+\omega_{0}^{2}=(s+a)^{2}+\omega_{1}^{2}.
Reescrevemos o numerador para usar as transformadas de cosseno e seno. Note que
(s+\beta)x_{0}+v_{0} = (s+a)x_{0} +\big(a x_{0}+v_{0}\big).
Logo
X(s)=\dfrac{x_{0}(s+a) + \big(a x_{0}+v_{0}\big)}{(s+a)^{2}+\omega_{1}^{2}}.
Agora separamos em duas frações que correspondem às transformadas de e^{-a t}\cos(\omega_{1}t) e e^{-a t}\sin(\omega_{1}t):
X(s)=x_{0}\cdot\dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+\omega_{1}^{2}} + \dfrac{a x_{0}+v_{0}}{\omega_{1}}\cdot\dfrac{\omega_{1}}{(s+a)^{2}+\omega_{1}^{2}}.
Invertendo termo a termo (usando os pares do Passo 2):
x(t)=e^{-a t}\left[ x_{0}\cos(\omega_{1}t) + \dfrac{a x_{0}+v_{0}}{\omega_{1}}\sin(\omega_{1}t)\right].
Voltando a \beta:
\boxed{\,x(t)=e^{-\beta t/2}\left[x_{0}\cos\!\big(\omega_{1}t\big)+\dfrac{\tfrac{\beta}{2}x_{0}+v_{0}}{\omega_{1}}\sin\!\big(\omega_{1}t\big)\right],\quad \omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\tfrac{\beta^{2}}{4}}\,.}
Dica prática para prova: memorize a forma e^{-\beta t/2}(\text{combinação de cos e sin})çã e saiba obter o coeficiente do seno pela comparação de numeradores como eu fiz ali.

Passo 6

Aqui a=\beta/2=\omega_{0} e o denominador é um quadrado perfeito:
s^{2}+\beta s+\omega_{0}^{2}=(s+a)^{2}.
Reescrevendo o numerador como antes:
(s+\beta)x_{0}+v_{0}=(s+a)x_{0} + (a x_{0}+v_{0}).
Portanto
X(s)=\dfrac{x_{0}(s+a)}{(s+a)^{2}} + \dfrac{a x_{0}+v_{0}}{(s+a)^{2}} = \dfrac{x_{0}}{s+a} + \dfrac{a x_{0}+v_{0}}{(s+a)^{2}}.
Invertendo (lembrando \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t} e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)^{2}\}=t e^{-a t}):
x(t)=x_{0}e^{-a t} + (a x_{0}+v_{0})\,t e^{-a t}.
Substituindo a=\beta/2:
\boxed{\,x(t)=\bigg(x_{0} + \Big(\dfrac{\beta}{2}x_{0}+v_{0}\Big)t\bigg)e^{-\beta t/2}\quad\text{(caso crítico).}\,}í

Passo 7

Agora as raízes do denominador são reais e distintas. Defina
s_{1}=\dfrac{-\beta+\sqrt{\beta^{2}-4\omega_{0}^{2}}}{2},\qquad s_{2}=\dfrac{-\beta-\sqrt{\beta^{2}-4\omega_{0}^{2}}}{2}.
Observe que s_{1} e s_{2} são negativos (já que \beta>0), e
s^{2}+\beta s+\omega_{0}^{2}=(s-s_{1})(s-s_{2}).
Fazendo frações parciais, escreve-se
X(s)=\dfrac{(s+\beta)x_{0}+v_{0}}{(s-s_{1})(s-s_{2})}=\dfrac{A}{s-s_{1}}+\dfrac{B}{s-s_{2}},
onde
A=\dfrac{(s_{1}+\beta)x_{0}+v_{0}}{s_{1}-s_{2}},\qquad B=\dfrac{(s_{2}+\beta)x_{0}+v_{0}}{s_{2}-s_{1}}.
(Estes A,B vêm do método padrão de frações parciais: A=\dfrac{N(s_{1})}{s_{1}-s_{2}}, B=\dfrac{N(s_{2})}{s_{2}-s_{1}}, com N(s)=(s+\beta)x_{0}+v_{0}.)
Invertendo, cada termo gera exponencial:
x(t)=A e^{s_{1}t}+B e^{s_{2}t}.
Portanto, escrevendo explicitamente:
\boxed{\,x(t)=\dfrac{(s_{1}+\beta)x_{0}+v_{0}}{s_{1}-s_{2}}\,e^{s_{1}t} +\dfrac{(s_{2}+\beta)x_{0}+v_{0}}{s_{2}-s_{1}}\,e^{s_{2}t},}
onde s_{1,2} são dados acima.
Observação prática: às vezes é reescrito como combinação
x(t)=C_{1}e^{s_{1}t}+C_{2}e^{s_{2}t},
com C_{1},C_{2} determinados pelas condições iniciais (mesma coisa que as fórmulas anteriores).

Passo 8

Resumo final e dicas de prova rápidas:
  • Método: transformada de Laplace transforma a EDO em álgebra; resolver para X(s); fatorar e usar pares conhecidos para inverter.
  • Na prova: identifique primeiro se \beta^{2}<,=, ou >\,4\omega_{0}^{2} e aplique a fórmula correspondente.
  • Cuidado com sinais ao completar quadrado e ao obter \omega_{1} ou as raízes s_{1},s_{2}.

Resposta

Subamortecido ( \beta^{2}<4\omega_{0}^{2}):
x(t)=e^{-\beta t/2}\left[x_{0}\cos\!\big(\omega_{1}t\big)+\dfrac{\tfrac{\beta}{2}x_{0}+v_{0}}{\omega_{1}}\sin\!\big(\omega_{1}t\big)\right],\quad \omega_{1}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\tfrac{\beta^{2}}{4}}.
Criticamente amortecido ( \beta^{2}=4\omega_{0}^{2}):
x(t)=\bigg(x_{0}+\Big(\dfrac{\beta}{2}x_{0}+v_{0}\Big)t\bigg)e^{-\beta t/2}.
Sobreamortecido ( \beta^{2}>4\omega_{0}^{2}):
x(t)=\dfrac{(s_{1}+\beta)x_{0}+v_{0}}{s_{1}-s_{2}}\,e^{s_{1}t} +\dfrac{(s_{2}+\beta)x_{0}+v_{0}}{s_{2}-s_{1}}\,e^{s_{2}t},
onde
s_{1,2}=\dfrac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}-4\omega_{0}^{2}}}{2}.

Exercícios relacionados