Utilizando a transformada de Laplace, resolva a segunda lei de Newton para o oscilador harmônico amortecido,
e satisfazendo as condições iniciais
e
.
Passo 1
Vou reescrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder (peguei tudo do enunciado):
- Equação diferencial a resolver:
com
.
- Condições iniciais:
- Pedido: encontrar
para usando a transformada de Laplace, em todas as situações possíveis (dependendo de e ).
Passo 2
Breve aula sobre a transformada de Laplace e suas propriedades úteis aqui:
- Definição: para uma função
(assumindo crescimento apropriado),
onde
é uma variável complexa com parte real grande o suficiente para convergência.
-
Propriedade linear:
. -
Transformadas de derivadas (fundamentais para EDOs com condições iniciais). Se
, então
Essas fórmulas aparecem ao integrar por partes na definição da transformada.
- Pares padrão que vamos usar para inverter:
Aqui
são constantes e
é a variável da transformada.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na equação dada. Seja
. Tomando transformada termo a termo e usando as fórmulas de derivada:
Somando conforme a EDO e igualando a zero:
Isolando
:
É conveniente escrever o numerador de forma compacta:
Passo 4
Analisar o denominador e preparar a inversão. O polinômio do denominador tem discriminante
Existem três casos qualitativamente diferentes, que dão soluções com formas distintas:
- Subamortecido:
(ou seja ). - Criticamente amortecido:
(ou seja ). - Sobreamortecido:
(ou seja ).
Vou inverter
separadamente em cada caso, usando as transformadas padrão mostradas no Passo 2.
Passo 5
Defina
Escrevemos o denominador completando quadrado:
Reescrevemos o numerador para usar as transformadas de cosseno e seno. Note que
Logo
Agora separamos em duas frações que correspondem às transformadas de
e
:
Invertendo termo a termo (usando os pares do Passo 2):
Voltando a
:
Dica prática para prova: memorize a forma
e saiba obter o coeficiente do seno pela comparação de numeradores como eu fiz ali.
Passo 6
Aqui
e o denominador é um quadrado perfeito:
Reescrevendo o numerador como antes:
Portanto
Invertendo (lembrando
e
):
Substituindo
:
Passo 7
Agora as raízes do denominador são reais e distintas. Defina
Observe que
e
são negativos (já que
), e
Fazendo frações parciais, escreve-se
onde
(Estes
vêm do método padrão de frações parciais:
,
, com
.)
Invertendo, cada termo gera exponencial:
Portanto, escrevendo explicitamente:
onde
são dados acima.
Observação prática: às vezes é reescrito como combinação
com
determinados pelas condições iniciais (mesma coisa que as fórmulas anteriores).
Passo 8
Resumo final e dicas de prova rápidas:
- Método: transformada de Laplace transforma a EDO em álgebra; resolver para
; fatorar e usar pares conhecidos para inverter. - Na prova: identifique primeiro se
ou e aplique a fórmula correspondente. - Cuidado com sinais ao completar quadrado e ao obter
ou as raízes .
Resposta
Subamortecido (
):
Criticamente amortecido (
):
Sobreamortecido (
):
onde