Utilizando a transformada de Laplace, resolva a segunda lei de Newton para o oscilador harmônico simples,
\ddot{x}(t)+\omega_{0}^{2} x(t)=0
satisfazendo as condições iniciais x(0)=x_{0} \mathrm{e} \dot{x}(0)=v_{0}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem (segunda lei de Newton para o oscilador harmônico simples) usando transformada de Laplace, com as condições iniciais dadas. Especificamente:
  • Equação diferencial fornecida:
\ddot{x}(t)+\omega_{0}^{2} x(t)=0
  • Condições iniciais fornecidas:
x(0)=x_{0},\qquad \dot{x}(0)=v_{0}.
  • O que é pedido: encontrar explicitamente x(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Lembrando o que é a transformada de Laplace e suas propriedades úteis para resolver EDOs:
  • Definição da transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge0):
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s) para constantes a,b.
  • Transformada das derivadas (resultados fundamentais que usaremos):
    • Para a primeira derivada:
    \mathcal{L}\{\dot{f}(t)\}=sF(s)-f(0).
    • Para a segunda derivada:
    \mathcal{L}\{\ddot{f}(t)\}=s^{2}F(s)-s f(0)-\dot{f}(0).
Vou justificar rapidamente a fórmula da primeira derivada (para ganhar confiança): começamos com
\mathcal{L}\{\dot{f}(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\dot{f}(t)\,dt.
Fazendo integração por partes com u=e^{-st} e dv=\dot{f}(t)\,dt obtém-se a expressão sF(s)-f(0). A fórmula para a segunda derivada decorre da aplicação repetida dessa propriedade.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Seja X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}. Então, usando a transformada da segunda derivada:
\mathcal{L}\{\ddot{x}(t)\}=s^{2}X(s)-s x(0)-\dot{x}(0).
Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} à equação \ddot{x}(t)+\omega_{0}^{2} x(t)=0 obtemos:
\big(s^{2}X(s)-s x(0)-\dot{x}(0)\big)+\omega_{0}^{2}X(s)=0.
Agora substituímos x(0)=x_{0} e \dot{x}(0)=v_{0}:
s^{2}X(s)-s x_{0}-v_{0}+\omega_{0}^{2}X(s)=0.
Agrupando os termos em X(s):
\big(s^{2}+\omega_{0}^{2}\big)X(s)=s x_{0}+v_{0}.

Passo 4

Isolar X(s) (a transformada de Laplace da solução):
X(s)=\frac{s x_{0}+v_{0}}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}.
Agora vamos preparar a inversão da transformada. Separe X(s) em duas parcelas:
X(s)=x_{0}\,\frac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}+v_{0}\,\frac{1}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}.
Recordando transformadas conhecidas:
  • \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
  • \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
    Daí \dfrac{1}{s^{2}+\omega^{2}}=\dfrac{1}{\omega}\dfrac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}} corresponde a \dfrac{1}{\omega}\sin(\omega t).

Passo 5

Fazer a transformada inversa termo a termo:
  • Para o primeiro termo, usando \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\}=\cos(\omega_{0} t), obtemos
\mathcal{L}^{-1}\left\{x_{0}\,\frac{s}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\right\}=x_{0}\cos(\omega_{0} t).
  • Para o segundo termo, usando \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\}=\dfrac{1}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0} t), obtemos
\mathcal{L}^{-1}\left\{v_{0}\,\frac{1}{s^{2}+\omega_{0}^{2}}\right\}=\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0} t).
Somando os dois resultados, a solução no domínio do tempo é
x(t)=x_{0}\cos(\omega_{0} t)+\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0} t).

Passo 6

Verificação rápida das condições iniciais (para ganhar confiança):
  • Em t=0,
x(0)=x_{0}\cos(0)+\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin(0)=x_{0}\cdot 1+0=x_{0},
ok.
  • Derivando x(t):
\dot{x}(t)=-x_{0}\omega_{0}\sin(\omega_{0} t)+\frac{v_{0}}{\omega_{0}}\cdot\omega_{0}\cos(\omega_{0} t)=-x_{0}\omega_{0}\sin(\omega_{0} t)+v_{0}\cos(\omega_{0} t).
Em t=0,
\dot{x}(0)=-x_{0}\omega_{0}\cdot 0+v_{0}\cdot 1=v_{0},
ok. Assim a solução satisfaz as condições iniciais.

Resposta

x(t)=x_{0}\cos(\omega_{0} t)+\dfrac{v_{0}}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0} t)

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