Utilizando a transformada de Laplace, resolva a segunda lei de Newton para o oscilador harmônico simples,
satisfazendo as condições iniciais
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem (segunda lei de Newton para o oscilador harmônico simples) usando transformada de Laplace, com as condições iniciais dadas. Especificamente:
- Equação diferencial fornecida:
- Condições iniciais fornecidas:
- O que é pedido: encontrar explicitamente
que satisfaça a equação e as condições iniciais, usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Lembrando o que é a transformada de Laplace e suas propriedades úteis para resolver EDOs:
- Definição da transformada de Laplace de uma função
(para ):
- Linearidade:
para constantes . - Transformada das derivadas (resultados fundamentais que usaremos):
- Para a primeira derivada:
- Para a segunda derivada:
Vou justificar rapidamente a fórmula da primeira derivada (para ganhar confiança): começamos com
Fazendo integração por partes com
e
obtém-se a expressão
. A fórmula para a segunda derivada decorre da aplicação repetida dessa propriedade.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Seja
. Então, usando a transformada da segunda derivada:
Aplicando
à equação
obtemos:
Agora substituímos
e
:
Agrupando os termos em
:
Passo 4
Isolar
(a transformada de Laplace da solução):
Agora vamos preparar a inversão da transformada. Separe
em duas parcelas:
Recordando transformadas conhecidas:
-
. -
.
Daícorresponde a .
Passo 5
Fazer a transformada inversa termo a termo:
- Para o primeiro termo, usando
, obtemos
- Para o segundo termo, usando
, obtemos
Somando os dois resultados, a solução no domínio do tempo é
Passo 6
Verificação rápida das condições iniciais (para ganhar confiança):
- Em
,
ok.
- Derivando
:
Em
,
ok. Assim a solução satisfaz as condições iniciais.