Em uma certa região, o vetor potencial magnético é dado pela seguinte função em coordenadas cílíndricas: \vec{A}=2 s^{2} \hat{\varphi}.
(a) Encontre o vetor campo magnético nesta região.
(b) Verifique se o gauge de Coulomb é satisfeito.
(c) Calcule a densidade de corrente, \vec{J}. associada a esse potencial vetor.

Passo 1

O enunciado dá o potencial vetorial em coordenadas cilíndricas \bigl(s,\varphi,z\bigr) como
\vec{A} = 2\,s^{2}\,\hat\varphi.
O conteúdo aqui é cálculo de campo magnético via \vec{B} = \nabla \times \vec{A}, verificação do gauge de Coulomb \nabla\cdot \vec{A}=0 e, em regime estático, uso da lei de Ampère \nabla\times \vec{B}=\mu_{0}\,\vec{J} para obter a densidade de corrente \vec{J}.

Passo 2

Para calcular \vec{B}=\nabla\times\vec{A} em coordenadas cilíndricas, usamos as componentes de \vec{A}: A_{s}=0, A_{\varphi}=2s^{2}, A_{z}=0.
A única componente não nula de \nabla\times\vec{A} é
B_{z} = \frac{1}{s}\,\frac{\partial}{\partial s}\bigl(s\,A_{\varphi}\bigr) = \frac{1}{s}\,\frac{\partial}{\partial s}\bigl(2s^{3}\bigr) = \frac{6s^{2}}{s} =6\,s.
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\vec{B}=6\,s\,\hat z.

Passo 3

O gauge de Coulomb exige \nabla\cdot \vec{A}=0. Em cilíndricas
\nabla\cdot \vec{A} = \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}\bigl(s A_{s}\bigr) + \frac{1}{s}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z} =0+0+0 =0.
Portanto o gauge de Coulomb está satisfeito.

Passo 4

Em regime estático a lei de Ampère é
\nabla\times \vec{B} = \mu_{0}\,\vec{J}.
Calculando \nabla\times\vec{B} para \vec{B}=6s\,\hat z em cilíndricas, a única componente não nula é
(\nabla\times \vec{B})_{\varphi} = \frac{\partial B_{s}}{\partial z} - \frac{\partial B_{z}}{\partial s} =0 - \frac{\partial (6s)}{\partial s} =-6.
Assim
\mu_{0}\,J_{\varphi} = -6 \quad\Longrightarrow\quad \vec{J} = -\frac{6}{\mu_{0}}\,\hat\varphi.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{B}=6\,s\,\hat z.
(b) Sim, \displaystyle \nabla\cdot \vec{A}=0.
(c) \displaystyle \vec{J}=-\frac{6}{\mu_{0}}\,\hat\varphi.

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