Considere os dois estados |\psi\rangle=i\left|\phi_{1}\right\rangle+3 i\left|\phi_{2}\right\rangle-\left|\phi_{3}\right\rangle e |\chi\rangle=\left|\phi_{1}\right\rangle-i\left|\phi_{2}\right\rangle+5 i\left|\phi_{3}\right\rangle, onde \left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle e \left|\phi_{3}\right\rangle são ortonormais.
(a) Calcule \langle\psi \mid \psi\rangle,\langle\chi \mid \chi\rangle,\langle\psi \mid \chi\rangle,\langle\chi \mid \psi\rangle e infira \langle\psi+\chi \mid \psi+\chi\rangle. Os produtos escalares \langle\psi \mid \chi\rangle e \langle\chi \mid \psi\rangle são iguais?
(b) Calcule |\psi\rangle\langle\chi| e |\chi\rangle\langle\psi|. Eles são iguais? Calcule seus traços e compare-os.
(c) Encontre os conjugados Hermitianos de |\psi\rangle,|\chi\rangle,|\psi\rangle\langle\chi| e |\chi\rangle\langle\psi|.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores no mesmo espaço vetorial (estados quânticos) expressos na base ortonormal \left\{\left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle,\left|\phi_{3}\right\rangle\right\}:
|\psi\rangle = i\left|\phi_{1}\right\rangle + 3i\left|\phi_{2}\right\rangle - \left|\phi_{3}\right\rangle, \qquad |\chi\rangle = \left|\phi_{1}\right\rangle - i\left|\phi_{2}\right\rangle + 5i\left|\phi_{3}\right\rangle.
O que é pedido:
(a) Calcular \langle\psi|\psi\rangle,\\ \langle\chi|\chi\rangle,\\ \langle\psi|\chi\rangle,\\ \langle\chi|\psi\rangle e daí \langle\psi+\chi|\psi+\chi\rangle. Ver se \langle\psi|\chi\rangle=\langle\chi|\psi\rangle.
(b) Calcular os operadores |\psi\rangle\langle\chi| e |\chi\rangle\langle\psi|. Ver se são iguais e comparar seus traços.
(c) Encontrar os conjugados hermitianos (adjuntos) de |\psi\rangle,\\ |\chi\rangle,\\ |\psi\rangle\langle\chi| e |\chi\rangle\langle\psi|.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A base é ortonormal, logo \langle\phi_j|\phi_k\rangle=\delta_{jk}.
  • Posso escrever |\psi\rangle=\sum_{j=1}^3 a_j|\phi_j\rangle e |\chi\rangle=\sum_{j=1}^3 b_j|\phi_j\rangle com
a_1=i,\\ a_2=3i,\\ a_3=-1;\qquad b_1=1,\\ b_2=-i,\\ b_3=5i.

Passo 2

Fórmulas básicas (explicando devagar):
  • Se |u\rangle=\sum_j u_j|\phi_j\rangle e |v\rangle=\sum_j v_j|\phi_j\rangle e a base é ortonormal, então
\langle u|v\rangle=\sum_{j=1}^3 u_j^* v_j,
onde u_j^* é o conjugado complexo de u_j. Isso vem da linearidade do produto interno e de \langle\phi_j|\phi_k\rangle=\delta_{jk}.
  • Em particular, a norma ao quadrado é \langle u|u\rangle=\sum_j |u_j|^2.
Agora aplico isso para \langle\psi|\psi\rangle. Os coeficientes de |\psi\rangle são a_1=i,\\ a_2=3i,\\ a_3=-1. Seus módulos ao quadrado:
|i|^2=1,\quad |3i|^2=9,\quad |-1|^2=1.
Somando:
\langle\psi|\psi\rangle = 1+9+1 = 11.

Passo 3

Calcular \langle\chi|\chi\rangle. Coeficientes b_1=1,\\ b_2=-i,\\ b_3=5i. Módulos ao quadrado:
|1|^2=1,\quad |-i|^2=1,\quad |5i|^2=25.
Somando:
\langle\chi|\chi\rangle = 1+1+25 = 27.

Passo 4

Calcular \langle\psi|\chi\rangle usando \langle\psi|\chi\rangle=\sum_j a_j^* b_j. Primeiro os conjugados dos a_j:
a_1^* = -i,\quad a_2^* = -3i,\quad a_3^* = -1.
Agora produto termo a termo:
a_1^* b_1 = (-i)\cdot 1 = -i,
a_2^* b_2 = (-3i)\cdot(-i) = (-3i)(-i)=3 i^2 = -3,
a_3^* b_3 = (-1)\cdot(5i) = -5i.
Somando os três termos:
\langle\psi|\chi\rangle = -i + (-3) + (-5i) = -3 - 6i.

Passo 5

Calcular \langle\chi|\psi\rangle. Pelo mesmo procedimento ou usando a propriedade \langle\chi|\psi\rangle = \langle\psi|\chi\rangle^* (o produto interno troca de ordem e se complex-conjuga), obtemos
\langle\chi|\psi\rangle = (-3-6i)^* = -3 + 6i.
Ou calculando diretamente \langle\chi|\psi\rangle=\sum_j b_j^* a_j obtém-se o mesmo resultado.

Passo 6

Calcular \langle\psi+\chi|\psi+\chi\rangle. Expandindo:
\langle\psi+\chi|\psi+\chi\rangle = \langle\psi|\psi\rangle + \langle\psi|\chi\rangle + \langle\chi|\psi\rangle + \langle\chi|\chi\rangle.
Substituindo os valores encontrados:
11 + (-3-6i) + (-3+6i) + 27.
Os termos imaginários cancelam: -6i+6i=0. Somando os reais:
11-3-3+27 = 32.
Logo \langle\psi+\chi|\psi+\chi\rangle = 32.

Passo 7

Resumo da parte (a) e observação sobre igualdade: \langle\psi|\chi\rangle = -3-6i e \langle\chi|\psi\rangle = -3+6i. Eles não são iguais; são conjugados complexos um do outro. Em geral, para espaços com produto interno complexo, a troca de ordem conjuga o resultado.

Passo 8

Parte (b): construir os operadores |\psi\rangle\langle\chi| e |\chi\rangle\langle\psi| em termos dos operadores projetores elementares |\phi_j\rangle\langle\phi_k|.
Fórmula geral: se a_j e b_k são os coeficientes de |\psi\rangle e |\chi\rangle, então
|\psi\rangle\langle\chi| = \sum_{j,k} a_j b_k^*\, |\phi_j\rangle\langle\phi_k|.
Lembre que b_k^* é o conjugado de b_k. Já calculamos os a_j e b_k; os conjugados b_k^* são:
b_1^*=1,\quad b_2^*=i,\quad b_3^*=-5i.
Agora calculo cada coeficiente a_j b_k^* (vou organizar por linhas j e colunas k):
  • Para j=1 ( a_1=i): a_1 b_1^* = i\cdot 1 = i,\quad a_1 b_2^* = i\cdot i = -1,\quad a_1 b_3^* = i\cdot(-5i) = 5.
  • Para j=2 ( a_2=3i): a_2 b_1^* = 3i\cdot1 = 3i,\quad a_2 b_2^* = 3i\cdot i = -3,\quad a_2 b_3^* = 3i\cdot(-5i) = 15.
  • Para j=3 ( a_3=-1): a_3 b_1^* = -1\cdot1 = -1,\quad a_3 b_2^* = -1\cdot i = -i,\quad a_3 b_3^* = -1\cdot(-5i) = 5i.
Portanto
|\psi\rangle\langle\chi| = i\,|\phi_1\rangle\langle\phi_1| -1\,|\phi_1\rangle\langle\phi_2| +5\,|\phi_1\rangle\langle\phi_3| +3i\,|\phi_2\rangle\langle\phi_1| -3\,|\phi_2\rangle\langle\phi_2| +15\,|\phi_2\rangle\langle\phi_3| -1\,|\phi_3\rangle\langle\phi_1| -i\,|\phi_3\rangle\langle\phi_2| +5i\,|\phi_3\rangle\langle\phi_3|.

Passo 9

Agora |\chi\rangle\langle\psi|. A mesma fórmula com b_j e a_k^*. Os conjugados a_k^* já foram: a_1^*=-i,\\ a_2^*=-3i,\\ a_3^*=-1. Calculo b_j a_k^*:
  • Para j=1 ( b_1=1): b_1 a_1^* = 1\cdot(-i) = -i,\quad b_1 a_2^* = 1\cdot(-3i) = -3i,\quad b_1 a_3^* = 1\cdot(-1) = -1.
  • Para j=2 ( b_2=-i): b_2 a_1^* = (-i)(-i) = -1,\quad b_2 a_2^* = (-i)(-3i) = -3,\quad b_2 a_3^* = (-i)(-1) = i.
  • Para j=3 ( b_3=5i): b_3 a_1^* = 5i\cdot(-i) = 5,\quad b_3 a_2^* = 5i\cdot(-3i) = 15,\quad b_3 a_3^* = 5i\cdot(-1) = -5i.
Portanto
|\chi\rangle\langle\psi| = (-i)\,|\phi_1\rangle\langle\phi_1| -3i\,|\phi_1\rangle\langle\phi_2| -1\,|\phi_1\rangle\langle\phi_3| -1\,|\phi_2\rangle\langle\phi_1| -3\,|\phi_2\rangle\langle\phi_2| +i\,|\phi_2\rangle\langle\phi_3| +5\,|\phi_3\rangle\langle\phi_1| +15\,|\phi_3\rangle\langle\phi_2| -5i\,|\phi_3\rangle\langle\phi_3|.

Passo 10

Comparação e traços:
  • Os dois operadores não são iguais (verificar coeficiente, por exemplo o elemento |\phi_1\rangle\langle\phi_1| vale i em |\psi\rangle\langle\chi| e vale -i em |\chi\rangle\langle\psi|; são diferentes). Na verdade vale a identidade geral
\big(|\psi\rangle\langle\chi|\big)^\dagger = |\chi\rangle\langle\psi|,
ou seja, eles são adjuntos um do outro, não iguais.
  • Traço: o traço de um operador na base ortonormal \{|\phi_j\rangle\} é soma dos coeficientes de |\phi_j\rangle\langle\phi_j|. Assim
\operatorname{tr}(|\psi\rangle\langle\chi|) = \sum_{j=1}^3 a_j b_j^*.
Do cálculo dos elementos diagonais de |\psi\rangle\langle\chi| (veja Passo 8) a soma é i + (-3) + 5i = -3 + 6i. Note que isso é exatamente \langle\chi|\psi\rangle (identidade geral \operatorname{tr}(|u\rangle\langle v|)=\langle v|u\rangle).
Analogamente,
\operatorname{tr}(|\chi\rangle\langle\psi|) = (-i) + (-3) + (-5i) = -3 - 6i = \langle\psi|\chi\rangle.
Portanto os traços não são iguais; são complexos conjugados entre si.

Passo 11

Parte (c): conjugados hermitianos (adjuntos).
  • Para vetores, o adjunto é a forma linear dual (bra). Coeficientes se conjugam:
|\psi\rangle^\dagger = \langle\psi| = (-i)\langle\phi_1| + (-3i)\langle\phi_2| + (-1)\langle\phi_3|.
|\chi\rangle^\dagger = \langle\chi| = 1\langle\phi_1| + i\langle\phi_2| + (-5i)\langle\phi_3|.
(Escrevendo de forma limpa: \langle\psi| = -i\langle\phi_1| -3i\langle\phi_2| -\langle\phi_3| e \langle\chi| = \langle\phi_1| + i\langle\phi_2| -5i\langle\phi_3|.)
  • Para operadores dyádicos, a regra é (|u\rangle\langle v|)^\dagger = |v\rangle\langle u|. Portanto
\big(|\psi\rangle\langle\chi|\big)^\dagger = |\chi\rangle\langle\psi|, \qquad \big(|\chi\rangle\langle\psi|\big)^\dagger = |\psi\rangle\langle\chi|.

Resposta

\langle\psi|\psi\rangle = 11
\langle\chi|\chi\rangle = 27
\langle\psi|\chi\rangle = -3 - 6i
\langle\chi|\psi\rangle = -3 + 6i
\langle\psi+\chi|\psi+\chi\rangle = 32
|\psi\rangle\langle\chi| = i\,|\phi_1\rangle\langle\phi_1| -1\,|\phi_1\rangle\langle\phi_2| +5\,|\phi_1\rangle\langle\phi_3| +3i\,|\phi_2\rangle\langle\phi_1| -3\,|\phi_2\rangle\langle\phi_2| +15\,|\phi_2\rangle\langle\phi_3| -1\,|\phi_3\rangle\langle\phi_1| -i\,|\phi_3\rangle\langle\phi_2| +5i\,|\phi_3\rangle\langle\phi_3|
|\chi\rangle\langle\psi| = (-i)\,|\phi_1\rangle\langle\phi_1| -3i\,|\phi_1\rangle\langle\phi_2| -1\,|\phi_1\rangle\langle\phi_3| -1\,|\phi_2\rangle\langle\phi_1| -3\,|\phi_2\rangle\langle\phi_2| +i\,|\phi_2\rangle\langle\phi_3| +5\,|\phi_3\rangle\langle\phi_1| +15\,|\phi_3\rangle\langle\phi_2| -5i\,|\phi_3\rangle\langle\phi_3|
Eles não são iguais (são adjuntos um do outro).
\operatorname{tr}(|\psi\rangle\langle\chi|) = -3 + 6i
\operatorname{tr}(|\chi\rangle\langle\psi|) = -3 - 6i
|\psi\rangle^\dagger = \langle\psi| = -i\langle\phi_1| -3i\langle\phi_2| -\langle\phi_3|
|\chi\rangle^\dagger = \langle\chi| = \langle\phi_1| + i\langle\phi_2| -5i\langle\phi_3|
\big(|\psi\rangle\langle\chi|\big)^\dagger = |\chi\rangle\langle\psi|
\big(|\chi\rangle\langle\psi|\big)^\dagger = |\psi\rangle\langle\chi|

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