Considere os dois estados
e
, onde
e
são ortonormais.
(a) Calcule
e infira
. Os produtos escalares
e
são iguais?
(b) Calcule
e
. Eles são iguais? Calcule seus traços e compare-os.
(c) Encontre os conjugados Hermitianos de
e
.
(a) Calcule
(b) Calcule
(c) Encontre os conjugados Hermitianos de
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores no mesmo espaço vetorial (estados quânticos) expressos na base ortonormal
:
O que é pedido:
(a) Calcular e daí
. Ver se
.
(b) Calcular os operadores e
. Ver se são iguais e comparar seus traços.
(c) Encontrar os conjugados hermitianos (adjuntos) de e
.
(a) Calcular
(b) Calcular os operadores
(c) Encontrar os conjugados hermitianos (adjuntos) de
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A base é ortonormal, logo
. - Posso escrever
e com
Passo 2
Fórmulas básicas (explicando devagar):
- Se
e e a base é ortonormal, então
onde
é o conjugado complexo de
. Isso vem da linearidade do produto interno e de
.
- Em particular, a norma ao quadrado é
.
Agora aplico isso para
. Os coeficientes de
são
. Seus módulos ao quadrado:
Somando:
Passo 3
Calcular
. Coeficientes
. Módulos ao quadrado:
Somando:
Passo 4
Calcular
usando
. Primeiro os conjugados dos
:
Agora produto termo a termo:
Somando os três termos:
Passo 5
Calcular
. Pelo mesmo procedimento ou usando a propriedade
(o produto interno troca de ordem e se complex-conjuga), obtemos
Ou calculando diretamente
obtém-se o mesmo resultado.
Passo 6
Calcular
. Expandindo:
Substituindo os valores encontrados:
Os termos imaginários cancelam:
. Somando os reais:
Logo
.
Passo 7
Resumo da parte (a) e observação sobre igualdade:
e
. Eles não são iguais; são conjugados complexos um do outro. Em geral, para espaços com produto interno complexo, a troca de ordem conjuga o resultado.
Passo 8
Parte (b): construir os operadores
e
em termos dos operadores projetores elementares
.
Fórmula geral: se
e
são os coeficientes de
e
, então
Lembre que
é o conjugado de
. Já calculamos os
e
; os conjugados
são:
Agora calculo cada coeficiente
(vou organizar por linhas
e colunas
):
- Para
( ): - Para
( ): - Para
( ):
Portanto
Passo 9
Agora
. A mesma fórmula com
e
. Os conjugados
já foram:
. Calculo
:
- Para
( ): - Para
( ): - Para
( ):
Portanto
Passo 10
Comparação e traços:
- Os dois operadores não são iguais (verificar coeficiente, por exemplo o elemento
vale em e vale em ; são diferentes). Na verdade vale a identidade geral
ou seja, eles são adjuntos um do outro, não iguais.
- Traço: o traço de um operador na base ortonormal
é soma dos coeficientes de . Assim
Do cálculo dos elementos diagonais de
(veja Passo 8) a soma é
. Note que isso é exatamente
(identidade geral
).
Analogamente,
Analogamente,
Portanto os traços não são iguais; são complexos conjugados entre si.
Passo 11
Parte (c): conjugados hermitianos (adjuntos).
- Para vetores, o adjunto é a forma linear dual (bra). Coeficientes se conjugam:
(Escrevendo de forma limpa:
e
.)
- Para operadores dyádicos, a regra é
. Portanto
Resposta
Eles não são iguais (são adjuntos um do outro).