Considere um estado que é dado em termos de três vetores ortonormais \left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle e \left|\phi_{3}\right\rangle como segue:
onde \left|\phi_{n}\right\rangle são autoestados de um operador \hat{B} tal que: \hat{B}\left|\phi_{n}\right\rangle=\left(3 n^{2}-1\right)\left|\phi_{n}\right\rangle com n= 1,2,3.
(a) Encontre a norma do estado |\psi\rangle.
(b) Encontre o valor esperado de \hat{B} para o estado |\psi\rangle.
(c) Encontre o valor esperado de \hat{B}^{2} para o estado |\psi\rangle.
onde \left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle,\left|\phi_{3}\right\rangle são vetores ortonormais (ou seja \langle\phi_i|\phi_j\rangle=\delta_{ij}). Também foi dado que \left|\phi_{n}\right\rangle é autovetor de \hat{B} com autovalor
O que o exercício pede:
(a) encontrar a norma de |\psi\rangle, isto é \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle};
(b) calcular o valor esperado \langle\hat{B}\rangle=\langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle;
(c) calcular o valor esperado \langle\hat{B}^2\rangle=\langle\psi|\hat{B}^2|\psi\rangle.
Passo 2
Revisando ideia-chave (passo-a-passo didático): para um estado escrito como combinação linear em base ortonormal
Observação amigável: ou seja, o estado dado não está normalizado (norma diferente de 1); sua norma é \sqrt{3/5}.
Passo 4
Agora o valor esperado de \hat{B}. Regra geral: para operador hermitiano \hat{B} e estado |\psi\rangle=\sum_n c_n|\phi_n\rangle com |\phi_n\rangle autovetores de \hat{B} e autovalores b_n,