Considere um estado que é dado em termos de três vetores ortonormais \left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle e \left|\phi_{3}\right\rangle como segue:
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{15}}\left|\phi_{1}\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{3}}\left|\phi_{2}\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{5}}\left|\phi_{3}\right\rangle,
onde \left|\phi_{n}\right\rangle são autoestados de um operador \hat{B} tal que: \hat{B}\left|\phi_{n}\right\rangle=\left(3 n^{2}-1\right)\left|\phi_{n}\right\rangle com n= 1,2,3.
(a) Encontre a norma do estado |\psi\rangle.
(b) Encontre o valor esperado de \hat{B} para o estado |\psi\rangle.
(c) Encontre o valor esperado de \hat{B}^{2} para o estado |\psi\rangle.

Passo 1

O enunciado nos dá o estado
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{15}}\left|\phi_{1}\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{3}}\left|\phi_{2}\right\rangle+\frac{1}{\sqrt{5}}\left|\phi_{3}\right\rangle,
onde \left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle,\left|\phi_{3}\right\rangle são vetores ortonormais (ou seja \langle\phi_i|\phi_j\rangle=\delta_{ij}). Também foi dado que \left|\phi_{n}\right\rangle é autovetor de \hat{B} com autovalor
\hat{B}\left|\phi_{n}\right\rangle=(3n^{2}-1)\left|\phi_{n}\right\rangle,\qquad n=1,2,3.
Das fórmulas acima extraio explicitamente os autovalores:
b_1=3\cdot1^2-1=2,\qquad b_2=3\cdot2^2-1=11,\qquad b_3=3\cdot3^2-1=26.
O que o exercício pede:
(a) encontrar a norma de |\psi\rangle, isto é \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle};
(b) calcular o valor esperado \langle\hat{B}\rangle=\langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle;
(c) calcular o valor esperado \langle\hat{B}^2\rangle=\langle\psi|\hat{B}^2|\psi\rangle.

Passo 2

Revisando ideia-chave (passo-a-passo didático): para um estado escrito como combinação linear em base ortonormal
|\psi\rangle=\sum_{n} c_n |\phi_n\rangle,
a norma ao quadrado é
\langle\psi|\psi\rangle=\sum_{n,m} c_n^* c_m \langle\phi_n|\phi_m\rangle.
Como a base é ortonormal, \langle\phi_n|\phi_m\rangle=\delta_{nm} (delta de Kronecker), então todos os termos com n\neq m desaparecem e sobra
\langle\psi|\psi\rangle=\sum_{n}|c_n|^2.
Isso significa que para obter a norma basta somar os quadrados dos módulos dos coeficientes.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: os coeficientes são c_1=\dfrac{1}{\sqrt{15}}, c_2=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, c_3=\dfrac{1}{\sqrt{5}}. Então
\langle\psi|\psi\rangle=\left|\frac{1}{\sqrt{15}}\right|^2+\left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|^2+\left|\frac{1}{\sqrt{5}}\right|^2 =\frac{1}{15}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}.
Calculo aritmético passo a passo: coloque denominador comum 15,
\frac{1}{15}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{1}{15}+\frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}.
Portanto a norma de |\psi\rangle é
\sqrt{\langle\psi|\psi\rangle=\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{3}{5}}.
Observação amigável: ou seja, o estado dado não está normalizado (norma diferente de 1); sua norma é \sqrt{3/5}.

Passo 4

Agora o valor esperado de \hat{B}. Regra geral: para operador hermitiano \hat{B} e estado |\psi\rangle=\sum_n c_n|\phi_n\rangle com |\phi_n\rangle autovetores de \hat{B} e autovalores b_n,
\langle\hat{B}\rangle=\langle\psi|\hat{B}|\psi\rangle=\sum_{n,m} c_n^* c_m \langle\phi_n|\hat{B}|\phi_m\rangle.
Como \hat{B}|\phi_m\rangle=b_m|\phi_m\rangle e usando ortonormalidade:
\langle\hat{B}\rangle=\sum_{n,m} c_n^* c_m b_m \langle\phi_n|\phi_m\rangle=\sum_{n} |c_n|^2 b_n.
Isto é intuitivo: o valor esperado em uma base de autovetores é a média dos autovalores ponderada pelas probabilidades |c_n|^2.

Passo 5

Aplicando aos nossos valores: b_1=2, b_2=11, b_3=26 e |c_1|^2=\dfrac{1}{15}, |c_2|^2=\dfrac{1}{3}, |c_3|^2=\dfrac{1}{5}. Logo
\langle\hat{B}\rangle=\frac{1}{15}\cdot 2+\frac{1}{3}\cdot 11+\frac{1}{5}\cdot 26.
Calcule passo a passo: transforme tudo com denominador 15,
\frac{2}{15}+\frac{11}{3}+\frac{26}{5}=\frac{2}{15}+\frac{55}{15}+\frac{78}{15}=\frac{135}{15}=9.
Portanto o valor esperado de \hat{B} no estado dado é \langle\hat{B}\rangle=9.

Passo 6

Para \langle\hat{B}^2\rangle a lógica é a mesma: \hat{B}^2|\phi_n\rangle=b_n^2|\phi_n\rangle. Assim
\langle\hat{B}^2\rangle=\langle\psi|\hat{B}^2|\psi\rangle=\sum_n |c_n|^2 b_n^2.
Aqui cada autovalor é elevado ao quadrado e ponderado pela mesma probabilidade |c_n|^2.

Passo 7

Calcule os quadrados e a soma:
b_1^2=2^2=4,\qquad b_2^2=11^2=121,\qquad b_3^2=26^2=676.
Então
\langle\hat{B}^2\rangle=\frac{1}{15}\cdot 4+\frac{1}{3}\cdot 121+\frac{1}{5}\cdot 676.
Colocando denominador 15:
\frac{4}{15}+\frac{121}{3}+\frac{676}{5}=\frac{4}{15}+\frac{605}{15}+\frac{2028}{15}=\frac{2637}{15}.
Simplificando \dfrac{2637}{15}=\dfrac{879}{5}. Em decimal isso é \,175{,}8, mas a forma fracionária \dfrac{879}{5} é exata.

Resposta

(a) \sqrt{\dfrac{3}{5}}
(b) 9
(c) \dfrac{879}{5}

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