- A equação do movimento de um pêndulo simples oscilando livremente é dada por:
Pede-se:
(a) (1.0) - Escreva a versão normalizada da equação do movimento e linearize a mesma em torno de um ponto de equilíbrio arbitrário
;
(b) (1.0) - Considere o pêndulo oscilando em torno de
. Desprezando termos dissipativos, se cada período de oscilaçāo dura 4 segundos qual o valor do comprimento do cabo do pêndulo (
)? (Considere
.
(a) (1.0) - Escreva a versão normalizada da equação do movimento e linearize a mesma em torno de um ponto de equilíbrio arbitrário
(b) (1.0) - Considere o pêndulo oscilando em torno de
Passo 1
O enunciado dá a equação do pêndulo simples:
O que se pede:
- (a) Escrever a versão normalizada da equação do movimento e linearizá-la em torno de um ponto de equilíbrio arbitrário
. - (b) Para o caso
, desprezando dissipação, se o período de oscilação é s, calcular o comprimento do cabo, usando .
Passo 2
Normalizar a equação (dividir por
) para deixar a aceleração angular isolada e expor os parâmetros:
Explicação didática: dividir por
elimina a massa
e o fator
que multiplicava
, resultando numa equação na forma padrão
. Aqui o coeficiente é
, que tem unidades de
e define a “força restauradora” por unidade de deslocamento angular.
Passo 3
Identificar pontos de equilíbrio
e preparar a linearização.
Definição: um ponto de equilíbrio satisfaz a condição de que uma solução constante
resolva a equação. Inserindo
em
Definição: um ponto de equilíbrio
temos
. Logo os equilíbrios são
Explicação didática: sin igual a zero significa que a componente tangencial da gravidade é nula — são as posições “para baixo” e “para cima”.
Passo 4
Linearizar em torno de um equilíbrio
.
Procedimento: escrevemos com
pequeno (pequena perturbação) e expandimos
em série de Taylor até termos lineares:
Procedimento: escrevemos
Como
para equilíbrio, a expansão reduz-se a
. Substituindo na equação normalizada:
Isto é a equação linearizada em torno de
.
Explicação didática do porquê: a linearização aproxima a função não linear
por sua reta tangente em
. Essa aproximação é válida se
for pequeno (no exame: “pequeno” significa que termos quadráticos são desprezíveis frente aos lineares).
Comentário sobre estabilidade (útil na prova): se
a equação linearizada tem sinal positivo no termo em
e descreve oscilações (equilíbrio estável). Se
o sinal inverte e o equilíbrio é instável (crescimento exponencial da perturbação). Por exemplo,
(para baixo) dá
estável;
(para cima) dá
instável.
Passo 5
Aplicar ao caso
(parte b).
Para a linearização dá
Para
Isto é a equação do movimento harmônico simples com frequência angular
Período
da oscilação (fórmula fundamental para MHS):
Explicação didática: para uma equação
, a solução é harmônica com frequência
e período
. Aqui
.
Passo 6
Isolar
a partir de
. Da relação
temos
Substituir
s e
. Procedimento passo a passo:
Calcular numericamente (passo a passo):
Arredondando com duas casas decimais:
Observações finais: esse valor foi obtido com a aproximação linear (pequenas oscilações) e desprezando amortecimento. Para oscilações grandes a dependência do período com a amplitude aparece e a fórmula muda.
Resposta
(a)
. Linearização em torno de um equilíbrio
(com
):\
.
(b) .
(b)