• A equação do movimento de um pêndulo simples oscilando livremente é dada por:
m l^{2} \ddot{\theta}(t)+m g l \sin \theta(t)=0
Pede-se:
(a) (1.0) - Escreva a versão normalizada da equação do movimento e linearize a mesma em torno de um ponto de equilíbrio arbitrário \theta_{0};
(b) (1.0) - Considere o pêndulo oscilando em torno de \theta_{0}=0. Desprezando termos dissipativos, se cada período de oscilaçāo dura 4 segundos qual o valor do comprimento do cabo do pêndulo ( l )? (Considere \left.g=9.8\left[\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right]\right).

Passo 1

O enunciado dá a equação do pêndulo simples:
m l^{2} \ddot{\theta}(t)+m g l \sin \theta(t)=0.
O que se pede:
  • (a) Escrever a versão normalizada da equação do movimento e linearizá-la em torno de um ponto de equilíbrio arbitrário \theta_{0}.
  • (b) Para o caso \theta_{0}=0, desprezando dissipação, se o período de oscilação é T=4 s, calcular o comprimento l do cabo, usando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 2

Normalizar a equação (dividir por m l^{2}) para deixar a aceleração angular isolada e expor os parâmetros:
\ddot{\theta}(t)+\frac{g}{l}\sin\theta(t)=0.
Explicação didática: dividir por m l^{2} elimina a massa m e o fator l^{2} que multiplicava \ddot{\theta}, resultando numa equação na forma padrão \ddot{\theta} + (\text{coeficiente})\cdot\sin\theta=0. Aqui o coeficiente é \dfrac{g}{l}, que tem unidades de \mathrm{s^{-2}} e define a “força restauradora” por unidade de deslocamento angular.

Passo 3

Identificar pontos de equilíbrio \theta_{0} e preparar a linearização.
Definição: um ponto de equilíbrio \theta_{0} satisfaz a condição de que uma solução constante \theta(t)=\theta_{0} resolva a equação. Inserindo \theta(t)=\theta_{0} em
\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0
temos \sin\theta_{0}=0. Logo os equilíbrios são
\theta_{0}=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicação didática: sin igual a zero significa que a componente tangencial da gravidade é nula — são as posições “para baixo” e “para cima”.

Passo 4

Linearizar em torno de um equilíbrio \theta_{0}.
Procedimento: escrevemos \theta(t)=\theta_{0}+\delta(t) com \delta(t) pequeno (pequena perturbação) e expandimos \sin(\theta_{0}+\delta) em série de Taylor até termos lineares:
\sin(\theta_{0}+\delta)=\sin\theta_{0}+\cos\theta_{0}\,\delta+O(\delta^{2}).
Como \sin\theta_{0}=0 para equilíbrio, a expansão reduz-se a \sin(\theta_{0}+\delta)\approx\cos\theta_{0}\,\delta. Substituindo na equação normalizada:
\ddot{\delta}+\frac{g}{l}\cos\theta_{0}\,\delta=0.
Isto é a equação linearizada em torno de \theta_{0}.
Explicação didática do porquê: a linearização aproxima a função não linear \sin por sua reta tangente em \theta_{0}. Essa aproximação é válida se \delta for pequeno (no exame: “pequeno” significa que termos quadráticos são desprezíveis frente aos lineares).
Comentário sobre estabilidade (útil na prova): se \cos\theta_{0}>0 a equação linearizada tem sinal positivo no termo em \delta e descreve oscilações (equilíbrio estável). Se \cos\theta_{0}<0 o sinal inverte e o equilíbrio é instável (crescimento exponencial da perturbação). Por exemplo, \theta_{0}=0 (para baixo) dá \cos0=1 estável; \theta_{0}=\pi (para cima) dá \cos\pi=-1 instável.

Passo 5

Aplicar ao caso \theta_{0}=0 (parte b).
Para \theta_{0}=0 a linearização dá
\ddot{\delta}+\frac{g}{l}\delta=0.
Isto é a equação do movimento harmônico simples com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}.
Período T da oscilação (fórmula fundamental para MHS):
T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.
Explicação didática: para uma equação \ddot{x}+\omega^{2}x=0, a solução é harmônica com frequência \omega e período T=2\pi/\omega. Aqui x=\delta.

Passo 6

Isolar l a partir de T. Da relação T=2\pi\sqrt{l/g} temos
l=\frac{gT^{2}}{4\pi^{2}}.
Substituir T=4 s e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Procedimento passo a passo:
T=4\\ \Rightarrow\\ T^{2}=16.
l=\frac{9{,}8\times 16}{4\pi^{2}}=\frac{9{,}8\times 4}{\pi^{2}}=\frac{39{,}2}{\pi^{2}}.
Calcular numericamente (passo a passo):
\pi^{2}\approx 9{,}8696,\qquad \frac{39{,}2}{9{,}8696}\approx 3{,}973\\ \mathrm{m}.
Arredondando com duas casas decimais:
l\approx 3{,}97\\ \mathrm{m}.
Observações finais: esse valor foi obtido com a aproximação linear (pequenas oscilações) e desprezando amortecimento. Para oscilações grandes a dependência do período com a amplitude aparece e a fórmula muda.

Resposta

(a) \ddot{\theta}+\dfrac{g}{l}\sin\theta=0. Linearização em torno de um equilíbrio \theta_{0} (com \sin\theta_{0}=0):\ \ddot{\delta}+\dfrac{g}{l}\cos\theta_{0}\,\delta=0.
(b) l\approx 3{,}97\\ \mathrm{m}.

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