Considere dois jogadores - M e N - que irão disputar um jogo no qual é apostado dinheiro. No início do jogo, M possui 1 real e N possui 2 reais. O jogo é disputado em rodadas sucessivas, sendo que a cada rodada 1 real é transferido de um jogador - o perdedor - para o outro jogador - o vencedor. O jogo termina quando um dos jogadores fica sem dinheiro para apostar. O histórico de confronto dos dois jogadores permite afirmar que o jogador M é melhor do que o jogador N pois ele venceu 2 / 3 dos confrontos entre ambos. Qual é a probabilidade do jogador M sagrar-se vencedor?

Passo 1

Beleza, vamos lá entender o que a questão pede. Temos dois jogadores, M e N, que começam com R$1 e R$2, respectivamente. Em cada rodada, um real é transferido do perdedor para o vencedor. M é melhor: ele ganha cada rodada com probabilidade 1 e R e perde com . O jogo acaba quando um dos dois fica sem dinheiro. A pergunta é: qual a probabilidade de M acabar com todo o dinheiro (ou seja, ficar com R$3)?
Conteúdo: é um caso clássico de “ruína do jogador” (gambler’s ruin). Vamos precisar do conceito de cadeia de Markov de absorção e da fórmula da probabilidade de atingir a barreira superior.

Passo 2

Definindo variáveis e o modelo:
  • O capital total é .
  • M começa com .
  • A cada rodada M ganha 1 real com probabilidade ou perde 1 real com probabilidade .
  • As barreiras (estados absorventes) são 0 (M sem dinheiro) e 3 (M com todo o dinheiro).
O que queremos é a probabilidade de ir de até antes de chegar em 0.

Passo 3

Teoria: para Pi = 1 - l(tfracqpr)^i1 - l(tfracqpr)^N , a fórmula da ruína do jogador diz que, partindo de Pi = p,Pi+1 + q,Pi-1, , a probabilidade de chegar a antes de 0 é
Essa fórmula vem de resolver a recursão
com e .

Passo 4

Agora é só substituir:
p = tfrac23, q = tfrac13, i = 1, N = 3
Então
qp = tfrac13tfrac23 = tfrac12
Logo
P1 = 1 - l(tfrac12r)^11 - l(tfrac12r)^3 = 1 - tfrac121 - tfrac18 = tfrac12tfrac78 = 12 times 87 = 47

Resposta

A probabilidade de M se sagrar vencedor é .

Exercícios relacionados