Considere dois jogadores - M e N - que irão disputar um jogo no qual é apostado dinheiro. No início do jogo, M possui 1 real e N possui 2 reais. O jogo é disputado em rodadas sucessivas, sendo que a cada rodada 1 real é transferido de um jogador - o perdedor - para o outro jogador - o vencedor. O jogo termina quando um dos jogadores fica sem dinheiro para apostar. O histórico de confronto dos dois jogadores permite afirmar que o jogador M é melhor do que o jogador N pois ele venceu
dos confrontos entre ambos. Qual é a probabilidade do jogador M sagrar-se vencedor?
Passo 1
Beleza, vamos lá entender o que a questão pede. Temos dois jogadores, M e N, que começam com R$1 e R$2, respectivamente. Em cada rodada, um real é transferido do perdedor para o vencedor. M é melhor: ele ganha cada rodada com probabilidade
e perde com
. O jogo acaba quando um dos dois fica sem dinheiro. A pergunta é: qual a probabilidade de M acabar com todo o dinheiro (ou seja, ficar com R$3)?
Conteúdo: é um caso clássico de “ruína do jogador” (gambler’s ruin). Vamos precisar do conceito de cadeia de Markov de absorção e da fórmula da probabilidade de atingir a barreira superior.
Conteúdo: é um caso clássico de “ruína do jogador” (gambler’s ruin). Vamos precisar do conceito de cadeia de Markov de absorção e da fórmula da probabilidade de atingir a barreira superior.
Passo 2
Definindo variáveis e o modelo:
- O capital total é
. - M começa com
. - A cada rodada M ganha 1 real com probabilidade
ou perde 1 real com probabilidade . - As barreiras (estados absorventes) são 0 (M sem dinheiro) e 3 (M com todo o dinheiro).
O que queremos é a probabilidade de ir de
até
antes de chegar em 0.
Passo 3
Teoria: para
, a fórmula da ruína do jogador diz que, partindo de
, a probabilidade de chegar a
antes de 0 é
Essa fórmula vem de resolver a recursão
com
e
.
Passo 4
Agora é só substituir:
Então
Logo
Resposta
A probabilidade de M se sagrar vencedor é
.