Uma população de bactérias evolui, diariamente, da seguinte forma: ao final de cada dia, cada bactéria, ou se aniquila, com probabilidade 1 / 3, ou sobrevive e se reproduz, por divisão celular, dando origem a duas novas bactérias, com probabilidade 2 / 3. No início de determinado dia, há somente uma bactéria.
a) Qual é a probabilidade de que ao fim de dois dias a população de bactérias tenha sido aniquilada?
b) Se ao final do segundo dia a população de bactérias estiver aniquilada, qual é a probabilidade de que ela tenha se aniquilado no final do primeiro dia?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: uma bactéria, a cada dia, ou morre com probabilidade ou se divide em duas com probabilidade . Começamos o dia 0 com só uma bactéria.
Conteúdo: vamos usar probabilidade básica (árvore de possibilidades) e probabilidade condicional. Precisamos calcular:
a) a chance de não sobrar nenhuma bactéria ao fim de 2 dias;
b) dado que ao fim de 2 dias está tudo extinto, qual a chance de já ter acabado no fim do dia 1.

Passo 2

Primeiro, vamos achar l(tfrac13r)timesl(tfrac13r)=tfrac19 çã.
– No fim do dia 1 só pode ter 0 ou 2 bactérias.
  1. Se der 0 bactérias (probabilidade Pr(Z2=0) = underbracetfrac13substackjá zerono dia 1 + underbracetfrac23substack2 bactériasno dia 1 times tfrac19 = tfrac13 + tfrac227 = tfrac1127 ), aí no dia 2 continua 0 com certeza.
  2. Se der 2 bactérias (probabilidade ), cada uma dessas 2, no dia 2, morre com probabilidade ou vira 2 com . Para a população total ser 0 no fim do dia 2, as duas do dia 1 precisam morrer. Como são independentes, a probabilidade disso é
Agora, somamos os dois caminhos que levam a extinção em 2 dias:
áé

Passo 3

Agora a probabilidade pedida em (b):
“Se ao fim do 2 já está extinto, qual a chance de ter acabado no fim do 1?”
Chamemos A = “Z_1=0” e B = “Z_2=0”. Queremos Pr(Amid B) = Pr(A cap B)Pr(B) .
Por definição de probabilidade condicional:
Pr(Amid B) = tfrac13tfrac1127 = 13times2711 = 911
Mas se A ocorre (já extinto no dia 1), então com certeza B ocorre (continua extinto). Logo .
E de Passo 2 temos . Assim

Resposta

a)
b)

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