Em uma indústria, a probabilidade de que um operário tenha feito um curso de treinamento e venha a cumprir sua quota de produção é igual a 48 %. Por outro lado, a probabilidade de que o operário tenha feito o curso mas não venha a cumprir a sua quota de produção é 32 %. Finalmente, a probabilidade de que o operário venha a cumprir sua quota de produção, se não fez o curso de treinamento, é igual a 10 %. Pergunta-se:
a) qual é a probabilidade de que o operário venha a cumprir sua quota de produção?
b) qual é a probabilidade de que o operário não tenha feito o curso de treinamento, se não cumpriu a sua quota de produção?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida no que o enunciado pediu e qual teoria a gente vai usar.
Enunciado em miúdos:
  • Existem dois eventos: “fez o curso” (T) e “cumpriu a quota” ©.
  • Sabemos que
    1. P(T ∧ C) = 48%
    2. P(T ∧ Cᶜ) = 32%
    3. P(C | Tᶜ) = 10%
      Preciso achar:
      a) P©
      b) P(Tᶜ | Cᶜ)
Conteúdo envolvido: probabilidade condicional, regra da probabilidade total e teorema de Bayes. Vamos precisar calcular P(T), P(Tᶜ), usar a regra da probabilidade total pra P© e depois o teorema de Bayes pra P(Tᶜ|Cᶜ).

Passo 2

Primeiro, a gente descobre P(T) e P(Tᶜ).
Por definição,
P(T) = P(Tland C) + P(Tland C^c) = 0,48 + 0,32 = 0,80
Logo,
P(T^c) = 1 - P(T) = 1 - 0,80 = 0,20

Passo 3

Agora vamos achar P© usando a regra da probabilidade total:
P(C) = P(Tland C) + P(T^cland C)
Já sabemos P(T∧C)=0,48. Falta P(Tᶜ∧C), mas como
P(C mid T^c) = P(T^cland C)P(T^c),
temos
P(T^cland C) = P(Cmid T^c),P(T^c) = 0,10 times 0,20 = 0,02
Então
P(C) = 0,48 + 0,02 = 0,50(ou 50%)

Passo 4

Por fim, queremos
P(T^c mid C^c)
Pelo teorema de Bayes,
$$P(T^c \mid C^c)
= \frac{P(T^c\land Cc)}{P(Cc)}.$$
Calculemos cada parte:
  1. P(T^c mid C^c) = P(T^cland C^c)P(C^c)
  2. P(T^cland C^c) = P(T^c) - P(T^cland C) = 0,20 - 0,02 = 0,18
    Logo,
    $$P(T^c \mid C^c)
= \frac{0{,}18}{0{,}50} = 0{,}36\quad(ou36%).$$

Resposta

a) P© = 50%
b) P(Tᶜ | Cᶜ) = 36%

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