Um recipiente metálico de 4,0 k g contém 14,0 k g de água e ambos estão a temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C}. Um bloco de 2,0 k g, feito do mesmo metal que o recipiente, e que estava inicialmente a 250^{\circ} \mathrm{C}, é mergulhado na água. Após o equilíbrio térmico, o sistema todo está na temperatura de 18^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o calor específico do bloco e do recipiente. Levando em conta possíveis erros experimentais, consulte a tabela 1.1 e indique de que material é feito o recipiente e o bloco.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o calor específico do bloco e do recipiente (que são do mesmo metal) e, usando a tabela 1.1, identificar de que material eles são. Dados fornecidos:
m_{\text{recipiente}}=4{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad m_{\text{água}}=14{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad m_{\text{bloco}}=2{,}0\\ \mathrm{kg},á
T_{\text{inicial, recipiente}}=T_{\text{inicial, água}}=15^\circ\mathrm{C},\qquad T_{\text{inicial, bloco}}=250^\circ\mathrm{C},á
T_{\text{final}}=18^\circ\mathrm{C}.
Observação importante: a tabela 1.1 mencionada no enunciado não foi enviada. Vou primeiro calcular numericamente o calor específico do metal a partir dos dados experimentais; depois comparo esse valor com valores tabelados comuns (de referência) para indicar o material mais provável, e explico a incerteza dessa identificação.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Calor trocado por um corpo quando sua temperatura varia é dado por \;Q = m\,c\,\Delta T\;, onde: m = \text{massa (kg)},\qquad c = \text{calor específico (J/(kg\,K))},\qquad \Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}\\ (\text{K ou }^\circ\mathrm{C}).íExplicação: c diz quanto de energia (em joules) é preciso para elevar 1 kg da substância em 1 grau.
  • Conservação de energia (isolamento térmico ideal): o calor perdido pelos corpos quentes é igual ao calor ganho pelos corpos frios. Aqui assumimos que não houve troca de calor com o ambiente (ou é desprezível).
  • Sinal: corpos que esfriam têm Q<0 (perdem calor); corpos que aquecem têm Q>0 (ganham calor). Na prática organizamos a equação fazendo “quantidade perdida = quantidade ganha” em módulos.

Passo 3

Escrevendo a equação de balanço térmico para este sistema:
o bloco perde calor ao se resfriar de 250^\circ\mathrm{C} para 18^\circ\mathrm{C}, e a água e o recipiente ganham calor ao subir de 15^\circ\mathrm{C} para 18^\circ\mathrm{C}. Chamando c_m o calor específico do metal (mesmo para bloco e recipiente) e c_w o calor específico da água (valor padrão c_w=4186\\ \mathrm{J/(kg\,K)}), temos:
m_{\text{bloco}}\,c_m\,(T_{\text{inicial, bloco}}-T_{\text{final}}) = m_{\text{água}}\,c_w\,(T_{\text{final}}-T_{\text{inicial, água}}) + m_{\text{recipiente}}\,c_m\,(T_{\text{final}}-T_{\text{inicial, recipiente}}).áá
Explicando cada termo:
  • lado esquerdo: calor perdido pelo bloco (massa \times calor específico \times queda de temperatura);
  • primeiro termo do lado direito: calor ganho pela água;
  • segundo termo do lado direito: calor ganho pelo recipiente (mesmo metal, por isso c_m aparece também).

Passo 4

Isolando c_m. Reorganizamos a equação para achar c_m:
m_b c_m (T_{b,i}-T_f) - m_r c_m (T_f-T_{r,i}) = m_w c_w (T_f-T_{w,i}).
Colocando c_m em evidência:
c_m\bigl[\,m_b (T_{b,i}-T_f) - m_r (T_f-T_{r,i})\,\bigr] = m_w c_w (T_f-T_{w,i}).
Logo
c_m = \frac{m_w c_w (T_f-T_{w,i})}{\,m_b (T_{b,i}-T_f) - m_r (T_f-T_{r,i})\,}.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculemos as diferenças de temperatura:
T_f-T_{w,i}=18-15=3\\ \mathrm{K},
T_{b,i}-T_f=250-18=232\\ \mathrm{K},
T_f-T_{r,i}=18-15=3\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo. Numerador:
m_w c_w (T_f-T_{w,i}) = 14{,}0\times 4186 \times 3.
Calculemos: 4186\times 3 = 12\,558. Então
14{,}0\times 12\,558 = 175\,812\\ \mathrm{J}.
Denominador:
m_b (T_{b,i}-T_f) - m_r (T_f-T_{r,i}) = 2{,}0\times 232 - 4{,}0\times 3 = 464 - 12 = 452.
Portanto
c_m = \frac{175\,812}{452}\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
Fazendo a divisão:
c_m \approx 388{,}85\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.

Passo 6

Interpretação, arredondamento e unidades. Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos), escrevemos
c_m \approx 3{,}89\times 10^{2}\\ \mathrm{J/(kg\,K)} \quad\text{ou}\quad c_m \approx 389\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
Observação: esse valor é o calor específico tanto do bloco quanto do recipiente, porque o enunciado afirma que são feitos do mesmo metal.

Passo 7

Identificação do material (tabela 1.1 não enviada). Como a tabela mencionada não foi fornecida, não posso consultar exatamente a “tabela 1.1” do seu material. Vou, então, comparar o valor obtido com valores tabelados de referência comumente usados:
  • cobre: c\approx 385\\ \mathrm{J/(kg\,K)},
  • latão (brass): c\approx 380\\ \mathrm{J/(kg\,K)} (varia conforme liga),
  • ferro/aco: c\approx 440\text{–}470\\ \mathrm{J/(kg\,K)},
  • alumínio: c\approx 900\\ \mathrm{J/(kg\,K)}.
    O valor que encontramos, c_m\approx 389\\ \mathrm{J/(kg\,K)}, está muito próximo do valor tabulado do cobre (aprox. 385\\ \mathrm{J/(kg\,K)}) e também compatível com ligas como o latão. A proximidade maior é com o cobre puro. Portanto, o material mais provável é cobre (ou uma liga de cobre), dentro da precisão do experimento.

Passo 8

Comentários sobre erros experimentais e precisão da identificação. Fontes típicas de erro que podem afetar o resultado:
  • perda de calor para o ambiente enquanto se mergulha o bloco (não totalmente isolado);
  • medição imprecisa de temperaturas ou massas;
  • temperatura inicial do recipiente e da água assumida uniforme (pode haver gradientes);
  • calor de vaporização ou condensação negligenciado (aqui não ocorreu presumivelmente).
    Esses erros explicam por que o valor calculado pode diferir um pouco do valor tabulado; ainda assim, a concordância com o cobre é boa.

Resposta

c_{\text{metal}} \approx 3{,}89\times 10^{2}\\ \mathrm{J/(kg\,K)}
Material provável: cobre (valores tabelados: c\approx 3{,}85\times 10^{2}\\ \mathrm{J/(kg\,K)}).

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